ES 2.17
Using a ruler and rusty compass, construct the perpendicular to a line l at a point A on l (par = 6).
PROCEDURA:
Sia r il raggio delle circonferenze tracciate dal compasso rotto e sia l la retta passante per A e B.
- Traccio la circonferenza di centro A e raggio r. Siano C e D i suoi punti di intersezione con la retta l
- Traccio la circonferenza di centro C e raggio r. Sia E il suo punto di intersezione con la circonferenza del punto 1.
- Traccio la circonferenza di centro D e raggio r. Sia F il suo punto di intersezione con la circonferenza del punto 1.
- Traccio la circonferenza di centro E e raggio r
- Traccio la circonferenza di centro F e raggio r. Sia G il suo punto di intersezione con la circonferenza del punto 4.
- Traccio la retta passante per A e G. E' la retta cercata, ovvero la perpendicolare a l passante per A.
- I triangoli GEF, ECA, EFA, AFD sono tutti equilateri e congruenti tra di loro per Prop (I.8), dato che per costruzione i lati di tutti i triangoli sono congruenti a r.
- Per Prop (I.32) la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti, quindi, dato che tutti gli angoli dei triangoli equilateri sono congruenti tra di loro, anche la somma degli angoli CEA + AEF + GEF è uguale a due angoli retti. Per Prop (I.14) i punti C, E, G stanno su un'unica retta e quindi sono allineati. Analogamente si trova che i punti G, F, D sono allineati. In particolare si ha che CGGD perchè somma di segmenti congruenti per costruzione.
- Consideriamo i triangoli CGA e AGD. ACAD per costruzione, CGGD e AG è in comune. Per Prop (I.8) △CGA△AGD e in particolare gli angoli CAG e GAD sono congruenti.
- Per Prop (I.13) gli angoli CAG e GAD sono retti e quindi la retta AG è perpendicolare alla retta l.