FUNCIONES PERIÓDICAS
ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA
Recordemos las relaciones trigonométricas existentes en un triángulo rectángulo, respecto a uno de sus ángulos, tomando como referencia la siguiente figura:
En las relaciones trigonométricas, el ángulo se encuentra fijo. Cuando hacemos que ése ángulo cambie de apertura, entonces ya no es una relación, sino una función. Por ejemplo, donde puede tomar cualquier valor real.
También recordemos que el ángulo puede tener unidades en diferentes sistemas de medición. A saber, se puede medir en grados (°), radianes (rad) o gradianes (g).
Para convertir entre estos tres sistemas de mediciones, basta con aplicar sencillas "reglas de tres" con las siguientes conversiones:
rad.
rad.
Veamos ahora las gráficas de las funciones trigonométricas:
Función SENO
Función COSENO
Funcion TANGENTE
Función COTANGENTE
Función SECANTE
Función COSECANTE
MODELO ALGEBRAICO
Una vez que ya recordamos los conocimientos previos pertinentes, podemos construir nuevos aprendizajes.
Lo primero que vamos a hacer es definir lo que es una función periódica:
De acuerdo a Ibáñez y García (2012. Matemáticas IV. Segunda edición. p 293. Editorial CENGAGE Learning. México), "Una función periódica aplicada al conjunto de los números reales, o al de los enteros, significa que la totalidad de su gráfica puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de ésta, repetida a intervalos regulares".
Lo anterior quiere decir que, en una función periódica, la gráfica es repetitiva cada cierto intervalo. Debido a ésto, para comprender su comportamiento, basta con estudiar el primer intervalo porque sabemos que los siguientes serán exactamente iguales.
Como ya se mencionó líneas más arriba, una función periódica se repite cada cierto periodo P, por lo que podemos decir que
siendo n un número entero.
Para éste curso, estudiaremos sólamente las funciones periódicas de seno y coseno, debido a que son las que tienen más aplicaciones en los campos de las telecomunicaciones, ondas electromagnéticas, pulsos eléctricos, electromagnetismo, acústica, vibraciones mecánicas y un muy largo etcétera.
Adicionalmente, las unidades que usaremos en las medidas de los ángulos serán siempre radianes.
Entonces, los modelos algebraicos a estudiar son:
en donde
a es la amplitud.
k es un factor que determina el periodo en que se repite la onda.
T es el periodo o tiempo en que se repite un ciclo completo de la onda. También es la variable
independiente de la función.
b es la fase o corrimiento horizontal.
c es el corrimiento vertical de la gráfica.
FRECUENCIA, PERIODO, AMPLITUD Y FASE
Las funciones periódicas tienen ciertas características que nos permiten comprender su comportamiento. Estudiaremos cada una de ellas:
La FRECUENCIA se representa por la letra f y es la cantidad de veces que se completa un ciclo o vuelta completa de la onda en un tiempo determinado. Si la unidad de tiempo son segundos, entonces la frecuencia se mide en Hertz (Hz).
Hz.
El PERIODO se representa por la letra T y se refiere al tiempo que tarda la onda en completar un ciclo, y se mide en segundos.
La frecuencia y el periodo son inversamente proporcionales, de tal manera que
por lo que
El periodo también se puede calcular a partir de la letra k de la siguiente forma:
La AMPLITUD se representa por la letra a y es la altura que tiene la oscilación, medida desde la parte central hasta la cresta de la onda y siempre es positiva.
La FASE se representa por la letra b y representa un corrimiento de la onda, ya sea hacia adelante o hacia atrás, dependiendo de su signo.
MODELO GRÁFICO
En la gráfica anterior, se puede identificar que:
segundos, porque es el tiempo en que se completó un ciclo. En la gráfica está marcado con las líneas negras.
Hz, ya que se completó un ciclo en un periodo de segundos.
ya que se puede observar que la gráfica se eleva hasta y=1 y la mitad se encuentra en y=0, por lo que la altura o amplitud es 1. En la gráfica está marcado con líneas azules.
puesto que no presenta corrimientos hacia adelante o atrás.
ya que no hay corrimientos verticales.
EJEMPLOS
Sea Determinar la amplitud, periodo, frecuencia, fase y corrimiento vertical.
RESPUESTA:
Comparamos la función dada con el modelo algebraico descrito líneas más arriba y tenemos:
podemos establecer entonces que:
es la amplitud.
segundos. Es la fase o corrimiento horizontal.
es el corrimiento vertical.
El periodo lo calculamos por:
segundos en que se completa un ciclo.
La frecuencia será entonces
Hz
La gráfica queda de la siguiente manera:
En la gráfica se pueden apreciar visualmente todos los parámetros.
El periodo está representado por las líneas negras T y T'
La fase o corrimiento horizontal está representada por la línea naranja b.
El corrimiento vertical está representado por la línea azul c.
La amplitud está dada por la altura de la gráfica, partiendo del centro. En éste caso es calculada por la porción localizada entre las líneas azul c y rosa d
Debido a que ya se había definido que siempre es una cantidad positiva, tal y como ya estaba expresado en la función dada.
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Una polea de 20 cm de diámetro está sujeta a un motor que gira a 1500 rpm. Establecer la función periódica que determina el movimiento de un tornillo que se encuentra en un extremo de la polea.
SOLUCIÓN:
El motor gira a 1500 rpm, por lo que hay que convertir Hz. Para hacerlo, ya que el conteo se encuentra en revoluciones o ciclos por minuto, hay que dividir entre 60 para obtener ciclos por segundo o Hertz.
Hz. Es decir, gira 25 veces por segundo.
El periodo está dado por:
seg. Lo que significa que hace un giro en 0.04 segundos.
la amplitud será la mitad del diámetro de la polea
cm
El factor k se despeja de la fórmula
Sin corrimientos verticales ni horizontales, por lo que:
La función que define el movimiento del tornillo es, entonces:
y la gráfica será:
El periodo está indicado con las líneas negras T y T'
La amplitud está indicada con la línea azul a.
SOLO PARA PRACTICAR
El siguiente ejercicio es para que practiques lo aprendido:
La nota musical "mi" de un saxofón define su onda sonora mediante la siguiente función periódica:
Calcula la frecuencia, amplitud y periodo de la onda sonora y elabora la gráfica.
SUGERENCIA:
RESPUESTAS:
seg
Hz.