8.2 Garrafa de Klein

Felix Klein nasceu em Düsseldorf em 1849. Estudou em Bonn, Göttingen e Berlim. Como professor, sua primeira experiência foi na Universidade de Erlanger (1872-1875), onde em seu trabalho inaugural lançou o Programa de Erlanger, com uma nova definição de geometria. Depois ensinou em Munique, Universidade de Lipzig (1880-1886) e Universidade de Göttingen (1886-1913), exercendo as funções de chefe de departamento nesta útlima instituição. Foi editor de Mathematische Annalen e fundador da grande Encyklopädie matemática. Foi um expostiro lúdico, um professor inspirado e um conferencista de talento. Morreu em Göttingen em 1925. (EVES, 2008, p. 67) A garrafa de Klein possui apenas uma superfície e nenhuma borda. A rima popular abaixo escrita por um desconhecido, porém sólida em sua base matemática, explica claramente a relação entre a tira de Möbius e a garrafa de Klein: Um matemático chamado Klein Achava divina a tira de Möbius*. Disse ele, “se você cola As bordas de duas, Você consegue uma garrafa estranha igual à minha”. Essa garrafa curiosa possui um lado interno, mas nenhum externo; ela atravessa a si própria. Não tem capacidade de armazenar qualquer líquido; se lançássemos líquido sobre ela, ele sairia pelo mesmo buraco. A garrafa foi criada em 1882, pelo matemático alemão Felix Klein (1849-1925). Ele disse certa vez: “Os maiores matemáticos, como Arquimedes, Newton e Gauss, sempre uniram teoria e aplicações na mesma medida”. Sua garrafa estranha segue essa particularidade dos grandes matemáticos. (VERMA, 2013, p. 110)   *Uma tira de Möbius é uma curva contínua que possui apenas uma superfície e uma borda. (VERMA, 2013, p. 108) O programa de Klein descrevia a geometria como o estudo das propriedades das figuras que permanecem invariantes sob um particular grupo de transformações. Portanto toda classificação de grupos de transformações torna-se uma codificação das geometrias. (BOYER, 1996, p. 379) No entanto, nem toda a obra de Klein se refere a grupos. Sua clássica história da matemática no século dezenove (publicada postumamente) mostra como ele conhecia todos os aspectos do assunto; seu nome é também lembrado hoje na topologia na superfície de uma face chamada garrafa de Klein. (...) Ocupava-se muito de geometria não-euclidiana, à qual contribuiu com os nomes “geometria elíptica” e “geometria hiperbólica”. (BOYER, 1996, p. 380) Desde monge não existira professor tão influente, pois além de dar aulas entusiasmantes Klein se preocupava com o ensino de matemática em muitos níveis e exerceu forte influência em círculos pedagógicos. (BOYER, 1996, p. 381)