III.2. Vom Quadrat zum Sechseck
Auf dieser Seite wird kurz gezeigt, wie ein Quadrat so zerlegt werden kann, dass dessen Teile zu einem Sechseck zusammengefügt werden können. Die Konstruktion eines 30°-Winkels ist bereits auf im Kapitel II.2. (Umwandlung eines Quadrats zum gleichseitigen Dreieck) dargestellt, hier wird darauf verzichtet.
Der Punkt liegt auf der Quadratseite und ist innerhalb gewisser Grenzen verschiebbar (probieren Sie es im Applet aus). Mit dem grünen Dreieck, dessen spitzer Winkel 30° beträgt, wird der Punkt gefunden. Er ist Mittelpunkt eines Halbkreises über der Strecke , welcher im Punkt schneidet ( wird nicht benötigt und dient nur zur Veranschaulichung des Kathetensatzes).
Alle eingezeichneten Winkel haben eine Größe von 30°. Aus folgt .
Im Dreieck gilt nach dem Kathetensatz . Lösen wir die letzte Gleichung nach auf, erhalten wir für den Flächeninhalt des Quadrats . Letzteres ist die Darstellung für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge , die mit dieser Konstruktion gewonnen wurde. Damit ist dann der Abstand gegenüberliegender Seiten des Sechsecks.
Wenn das Kontrollkästchen Aufteilung aktiviert wird, werden die Hilfslinien der Konstruktion ausgeblendet. Die dann eingeblendeten Punkte und sind wie folgt festgelegt: ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von mit der Seite und liegt so auf der Seite , dass gilt.