Lösungsmengen von Gleichungssystemen
Matrizengleichungen sind Gleichungssysteme
Wenn eine Gleichung mit einer Matrix verwendet wird, dann ist das immer eine kurze Schreibweise für ein Gleichungssystem. Bei der Materialverflechtung gab es zum Beispiel die Gleichung .
Ein Zahlenbeispiel wäre:
Das entspricht dem Gleichungssystem:
So eine Aufgabe haben wir bisher mit dem Gauß-Algorithmus oder mit einer inversen Matrix gelöst.
Aber in vielen Fällen gibt es gar keine inverse Matrix, zum Beispiel immer dann, wenn die Anzahl der Rohstoffe nicht gleich der Anzahl der Endprodukte ist, also wenn die Koeffizientenmatrix nicht quadratisch ist - in der Realität also fast immer.
Es gibt auch Gleichungssysteme, die nicht eine Lösung haben, sondern unendlich viele. Andere Gleichungssysteme wiederum sind unlösbar, sie haben gar keine Lösung.
Um auch solchen Fälle zu untersuchen, müssen wir das Gleichungssystem als erweiterte Koeffizientenmatrix aufschreiben und es entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder mit der CAS-Anweisung rref(M) möglichst in eine Einheitsmatrix transformieren. In Geogebra heißt die entsprechende Anweisung Treppennormalform(M), wobei das M jeweils für die erweiterte Koeffizientenmatrix steht.
Es ist also wichtig, ein Gleichungssystem als erweiterte Koeffizientenmatrix schreiben zu können und es ist auch wichtig, aus einer erweiterten Koeffizientenmatrix wieder ein Gleichungssystem zu erstellen. Wie das geht, kann man hier nachschlagen und üben.
Der Rang einer Matrix
Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Zeilenvektoren, bei denen nicht jedes Element gleich Null ist.
In einer erweiterten Koeffizientenmatrix gibt es immer eine Spalte mehr, als es Variablen gibt. Wenn solche Matrizen in die "Treppennormalform" gebracht werden, dann entstehen Matrizen wie die folgenden:
Beispiel 1:
Daraus folgt, dass es genau eine Lösungsmenge für dieses Gleichungssystem gibt, und zwar , und .
Der Rang dieser Matrix ist gleich der Anzahl der Variablen. Daher gibt es genau eine Lösung.
Beispiel 2:
Es kann auch ein Ergebnis heraus kommen, das so aussieht:
Hier ist die letzte Zeile gleich Null.
Der Rang dieser Matrix ist gleich 2 und damit kleiner als die Anzahl der Variablen. In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen.
In diesem Beispiel muss sein, und für und sind alle Werte eine Lösung, die die Gleichung erfüllen. Das könnte und sein, aber auch und und es gibt unendlich viele weitere Lösungen.
Beispiel 3:
Auch folgendes kann die Treppennormalform eines Gleichungssystems sein:
Der Rang dieser Matrix ist größer als die Anzahl der Variablen. In diesem Fall gibt es keine Lösung.
Wird die letzte Zeile wieder als Gleichung geschrieben, dann heißt diese . Das ist ein mathematischer Widerspruch, denn das heißt nichts anderes als . Wenn beim Umformen einer Gleichung oder eines Gleichungssystems ein mathematischer Widerspruch erscheint, dann heißt das: Es gibt keine Lösung.
Aufgabe
Das folgende Applet erstellt erweiterte Koeffizientenmatrizen aus Zufallszahlen. Mit dem Gauß-Algorithmus, oder einem CAS-Taschenrechner (mit der Anweisung rref() ) oder mit Geogebra (mit der Anweisung Treppennormalform() ) kann man die Koeffizientenmatrizen so umformen, dass sie die Treppennormalform bilden, d.h. dass auf der linken Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch Nullen und Einsen stehen (siehe Beispiele 1-3 unten).
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Variablen.
b) Berechnen Sie die Treppennormalform und bestimmen Sie den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.
c) Schreiben Sie die Treppennormalform als Gleichungssystem auf.
d) Schreiben Sie dann auf, wie viele Lösungen es gibt und wenn möglich auch welche. Wenn mehrere Lösungen möglich sind, dann bestimmen Sie mindestens zwei verschiedene Lösungen.
Zur Überprüfung des eigenen Ergebnisses, kann man sich die Treppennormalform auch anzeigen lassen.
Fazit: Rang einer Matrix und Lösungsmengen
- Wenn der Rang der Treppennormalform der erweiterten Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.
- Wenn der Rang der Treppennormalform der erweiterten Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen ist, dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
- Wenn der Rang der Treppennormalform der erweiterten Koeffizientenmatrix größer als die Anzahl der Variablen ist, dann hat das Gleichungssystem keine Lösung.