Diagrama de bifurcación (curva logística)
Este diagrama de bifurcación está relacionado con la curva logística f(x) = c x (1 - x), curva en la que c es una constante comprendida entre 0 y 4.
En este mismo libro-Geogebra, en el capítulo: http://geogebratube.org/student/b84432#chapter/402 (Órbitas curva logística), existen algunas explicaciones relacionadas con esta curva y puede ser conveniente leerlas para entender este archivo.
Aquí en el eje de las x, entre 0 y 4, se dibujan los valores de las órbitas obtenidas a partir de cierta semilla (valor mayor que 0 y menor que 1) correspondientes a los posibles valores de c. Es decir el comportamiento de la órbita determinada por c = 3.5 se puede observar en los puntos de la correspondiente vertical, puntos de la forma (c, x_i), donde x_i son los sucesivos valores de la órbitas.
De esta forma se puede ver cuándo la órbita se aproxima a un punto, cuándo acaba siendo periódica, cuándo existe un comportamiento caótico.
El deslizador c se anima usando el control correspondiente y los otros cuatro deslizadores permiten determinar las coordenadas del extremo inferior izquierdo y del extremo superior derecho de la ventana gráfica (este truco está descrito en el otro archivo mencionado anteriormente y evita que el usuario pueda usar la herramienta Zoom de la barra de menús.
El diseño del archivo es fácil, y la técnica aquí empleada para dibujar el diagrama de bifurcación se usa para dibujar imágenes fractales con Geogebra (cosa que no es demasiado fácil con este programa).
Es un ejemplo de utilización práctica de la hoja de cálculo de Geogebra
DISEÑO DEL ARCHIVO:
- Se usa un deslizador c para establecer la constante de la curva. Los incrementos se establecen en 0.01
- Se definen cuatro deslizadores para poder ajustar las dimensiones de la ventana
- Se define la función f(x) = c x (1 - x)
- Se establece el valor inicial de las órbitas que se van a estudiar, por ejemplo semilla = 0.378
- En la hoja de cálculo, en la celda B2 escribimos: =f(semilla) y en la celda B3 escribimos =f(B2). Con esto tenemos los dos primeros elementos de la órbita correspondiente al valor actual de c y a la semilla establecida. Copiamos ese valor, el de la celda B3, hacía abajo, hasta tener los valores de los 200 primeros elementos de la órbita.
- En la columa adyacente, columna C, vamos a colocar los puntos que queremos dibujar ( (c, x_i)). En C2 escribimos = (c, B2) y copiamos hacía abajo hasta tener 200 puntos. Ocultamos los 49 primeros puntos de la órbita. En los restantes puntos establecemos el color deseado (en el ejemplo, rojo), tamaño 1, ocultamos las etiquetas, y activamos la traza ("Muestra el rastreo" en la traducción actual al castellano).
- Colocamos una casilla de Control (que, en el caso de este archivo, determina el valor booleano de la variable a)
- En la casilla de control creada añadimos el siguiente script (Al Actualizar): 'IniciaAnimación[c, a]'. Con ello el usuario activa o desactiva la animación usando la casilla de control
Carlos Fleitas, marzo de 2014