Ausbreitung einer Epidemie: einfaches Modell
Ein sehr einfaches Modell zur Beschreibung der Ausbreitung einer Epidemie (Grippe, Corona/Covid-19, ...) kann durch folgende Formeln beschrieben werden.
Dabei bezeichnet Gn die Anzahl der Gesunden zum Zeitpunkt n, Kn die Anzahl der Kranken zum Zeitpunkt n und k die Kontaktrate.
Die Anzahl der Gesunden zum neuen Zeitpunkt Gn+1 ergibt sich aus der Anzahl der bisher Gesunden Gn verringert um die Anzahl der Neuerkrankten, also die Anzahl der Kranken zum neuen Zeitpunkt Kn+1 minus der Anzahl der Erkrankten zum vorigen Zeitpunkt Kn. Die Anzahl der Kranken zum neuen Zeitpunkt Kn+1 ergibt sich aus der Anzahl der bisher Erkrankten Kn vermehrt um die Anzahl der Neuerkrankten. Für diese Anzahl kann man annehmen, dass sie proportional zu der Anzahl der bisher Erkrankten Kn und zur Anzahl der bisher Gesunden Gn ist. Der Proportionalitätsfaktor k gibt die Kontaktrate an. Hinweis für die Umsetzung in der Tabelle: Nach der Eingabe der Anfangswerte G0 und K0 in den Zellen B2 und C2 beginnt man die rekursive Festlegung am besten in der Zelle C3 mit = C2 + k*C2*B2 und anschließend erst in der Zelle B3 mit =B2 - (C3 - C2). Aus dem diskreten Ansatz der Differenzengleichungen werden für eine kontinuierliche Beschreibung mithilfe eines stetigen Modells die Differentialgleichungen
Wird die Gesamtbevölkerung mit P bezeichnet, so gilt G + K = P und aus der letzten Differentialgleichung wird die aus der Beschreibung des logistischen Wachstum bekannt ist. Hinweis: Dieses Modell kann nicht der Realität entsprechen, da alle Personen in dieser Population erkranken. Das Modell muss also in einem weiteren Durchlauf des Modellierungskreislauf verbessert werden. Aufgabe Verändere mit den Schiebereglern die Anfangszahl der Gesunden G0 und Kranken K0 und die Kontaktrate k.