Spurverfahren zur Berechnung der Lage von Punkten einer ebenen Kurve L, entlang der die Funktion f(L) der Flächenfunktion f(x,y) lokale Extrema hat. 1
Erläuterung des Applets mit Hilfe der folgenden Abbildungen.
Abbildung 1: Gegeben sei die Funktion z = f(x, y), die sich numerisch durch Berechnung des Integrals ergibt. Es gibt eine Liste von Punkten in der XY-Ebene, die eine L:=Polylinie definiert, die aus Segmenten besteht, die diese Punkte verbinden. Die Aufgabe besteht darin, die relativen Maxima und Minima der Funktion f(L) entlang dieser Polylinie zu finden.
Abbildung 2: Als Liste der Ausgangspunkte werden wir die Extrempunkte (Punkte,die polyline1 und polyline2 definieren) nehmen, die mit Hilfe der Fresnel-Theorie im Nahfeld bei der Beugung hinter einem Spalt in Applet erhalten wurden. Betrachten wir zwei Polylinien: die eine geht durch die Maxima (rote Punkte, Liste l1), die andere durch die Minima (blaue Punkte, Liste l2).
Abbildung 3: Beispiel Intensitätsflächen I=I(x,y) des Beugungsfeldes hinter einem Spalt, Extremes, Polylinien der Maxima und Minima.
Abbildung 4: Zur Veranschaulichung betrachten wir das Verhalten der Intensitätsfunktion I=I(x,y) des Beugungsfeldes hinter dem Spalt entlang L:=Polylinie1 und finden die relativen Maxima und Minima von f(L) entlang dieser Linie. Unten links im Applet sind die Formeln für die erforderlichen Bedingungen für lokale Extreme angegeben. Die Analyse erfolgt auf der Grundlage der Kontrolle an drei Punkten.
Abbildung 5: An den Stellen der Extrempunkte erfolgt die entsprechende Einfärbung der Polylinien mit Spuren einer Menge von Punkten, die die Bedingungen der lokalen Extrema erfüllen. Durch Sortieren wird in jedem dieser Bereiche nur ein Extrempunkt ausgewählt und alle in neuen Listen (für polyline1: rmax, rmin und für poliline2: rmin, rmax) gesammelt.
Abbildung 6: Vergleich von Punkten auf der Heatmap, bestimmt mithilfe der Fresnel-Zonentheorie, und in diesem Applet verfeinert. Um die Genauigkeit der Berechnungen zu erhöhen, kann man (bei einem bestimmten Schritt des Parameters i) die Gleitgeschwindigkeit des Schiebereglers verringern, d.h. in der Nähe der Punkte der Polylinie, die dem Extremum entsprechen, wird die Anzahl der Punkte, die die Extremumbedingung erfüllen, zunehmen und die Analyse wird genauer. Im linken Teil des Applets befindet sich in der Mitte ein Kontrollkästchen ☑verbesserte Koordinaten, berechnet mit vi=0.02!
Abbildung 7: Im vorliegenden Applet wird zum Vergleich das Beugungsfeld (als Heatmap verwendet), das hinter dem Spalt entsteht und einst nach dem Huygens-Fresnel-Prinzip berechnet wurde. Wir können die Ergebnisse der betrachteten Methode zur Bestimmung der Extrempunkte mit den entsprechenden Punkten der Heatmap vergleichen und den Grad der Übereinstimmung abschätzen .
Abbildung 1:
Abbildung 2:
Abbildung 3: I=I(x,y).
Abbildung 4:
Abbildung 5:
Abbildung 6:
Abbildung 7:
