Nullstellen Teil 1 - Sonderfälle
Drei mögliche Lösungen
Wie immer, wenn man Nullstellen berechnet, muss man auch bei quadratischen Funktionen die Funktionsgleichung gleich Null setzen, z.B..
Bei quadratischen Funktionen können dann drei unterschiedliche Fälle auftreten:
- Es gibt 2 Nullstellen - wie oben bei den Funktionen und
- Es gibt eine (doppelte) Nullstelle - wie oben bei den Funktionen und
- Es gibt keine Nullstelle - wie oben bei den Funktionen und
Lösen quadratischer Gleichungen
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in die Form umstellen lässt. Dabei sind , und beliebige Zahlen und das ist die Variable, die wir ausrechnen müssen.
Ein einfaches Umstellen der Gleichungen, wie beiden linearen Funktionen, ist hier nur in wenigen Sonderfällen möglich. Für das Lösen so einer Gleichung gibt es drei Methoden:
- die pq-Formel
- die Mitternachtsformel
- die quadratische Ergänzung
Gleichungen der Form a x² + b =0
Diese Gleichungen kann man durch einfaches Umstellen und Wurzel ziehen lösen:
Beispiel1:
Man beachte, dass es hier zwei unterschiedliche Lösungen gibt: und . Die zweite Lösung wird oft vergessen.
Beispiel 2:
Diese Gleichung hat keine Lösung, weil es keine Quadratwurzel einer negativen Zahl gibt. Es gibt also keine Zahl , für die die oben stehende Aufgabe eine richtige Lösung hat.
Der Satz vom Nullprodukt
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren ... gleich Null ist.
Gleichungen der Form a·x·(x - b)=0 oder a·(x - b)·(x - c)=0 oder a·x²+b·x=0
Bei Gleichungen, die aus sogenannten Linearfaktoren bestehen (das sind Klammern der Form , wobei eine beliebige Zahl ist), kann man den Satz vom Nullprodukt verwenden. Das schöne ist, dass man die Lösung hier gar nicht ausrechnen muss, man kann sie direkt ablesen.
Beispiel 1:
Dies ist eine Gleichung aus den Faktoren , und .
Die ist eine Zahl ungleich Null, aber die beiden Klammern können Null werde: Wie man leicht sieht, ist die erste Klammer gleich Null, wenn und die zweite Klammer ist gleich Null, wenn (man beachte die im Vergleich zur Klammer umgekehrten Vorzeichen!)
Also hat die Gleichung die Lösungen und
Beispiel 2:
Hier kann man ohne Rechnung aus dem Satz vom Nullprodukt schließen, dass die Gleichung genau dann stimmt, wenn oder wenn .
Beispiel 3:
ausklammern:
Für den Rest der Lösung reicht wieder mit der Satz vom Nullprodukt: und