Unterrichtssequenz: Einführung des Baumdiagramms
Stochastik ist die Lehre von der Wahrscheinlichkeit. Es wird verwendet, um den Prozess der Zufälligkeit und Variation bei zeitbasierten Ereignissen wie Wahlen und Aktienmärkten auszudrücken. Seit dem 20. Jahrhundert hat die Stochastik in Wissenschaft und Alltag zunehmend an Aufmerksamkeit gewonnen. Denn stochastische Prozesse sind in vielen Bereichen wie Medizin, Elektronik und Ingenieurwesen direkt mit unserem Erfolg verbunden.
Stochastik ist ein mathematisches Konzept, das Prozesse beschreibt, die mit Unsicherheiten behaftet sind. Diese Prozesse umfassen Zeit, Raum und Ergebnisse einzelner Ereignisse. Wenn Sie beispielsweise eine Münze dreimal werfen, würde das Ergebnis Schwankungen unterliegen, da jede Seite die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit hat. Diese Definition macht in unserer heutigen Welt Sinn; Es erklärt, wie die Wahrscheinlichkeit unsere täglichen Aktivitäten beeinflusst.
Stochastische Begriffe erweitern ständig unser Verständnis der Wahrscheinlichkeit und ihrer Anwendungen. Es ist von entscheidender Bedeutung, dass wir diese Tools verantwortungsvoll nutzen, damit sie die Gesellschaft nicht negativ beeinflussen. Während stochastische Begriffe viele Verwendungen haben, sind stochastische Prozesse in vielen Bereichen direkt mit unserem Erfolg verbunden – wir müssen diese Werkzeuge verstehen und verantwortungsbewusst einsetzen!
Überblick
Thema: Einstieg zu den Baumdiagrammen und den dazugehörigen Pfadregeln
Klassenstufe: Klasse 8
Dauer: 38-58 Minuten
Material: Tafel, Urne, Tablet/Laptop, Münze
Die folgende Unterrichtssequenz kann als Einstieg in die Thematik der Baumdiagramme genutzt werden.
Vorraussetzungen
Für die folgende Unterrichtssequenz sollten die SuS bereits:
... die Bruch- & Prozentrechnung können.
... die Bedeutung der Wahrscheinlichkeit kennen und wissen wie diese gebildet wird.
Lernergebnisse & Kompetenzen
Nach der Unterrichtssequenz können die SuS...
... Situationen Mathematisieren.
... ein Baumdiagramm zeichnen.
... die Pfadregeln anwenden und mithilfe derer Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm berechnen.
Didaktische Überlegung I - Prinzip des aktiven Lernens
Das Konzept, Mathematiklernen als konstruktiven, aktiven Prozess zu verstehen, passt gut zu den Aufgaben und Zielen des Mathematikunterrichts.
Das Curriculum sollte daher so gestaltet werden, dass Kinder in allen Phasen des Lernprozesses möglichst viele Möglichkeiten zum selbstständigen und zunehmend eigenverantwortlichen Lernen haben.
Die Aufgabe des Lehrers besteht darin, herausfordernde Gelegenheiten zu schaffen, produktive Werkzeuge und ein breites Aufgabenspektrum bereitzustellen, eine breite Beteiligung der Lernenden zu ermöglichen und vor allem eine strukturierte Kommunikation aufzubauen und aufrechtzuerhalten, die das Lernen für alle Kinder erleichtert.
Didaktische Überlegung II - Think-Pair-Share
Die Aufteilung in drei Arbeitsschritte führt zu einem Wechsel von individuellen und kollaborativen Lernphasen. In der Einzelphase, auch Think-Phase genannt, müssen die Lernenden in der Lage sein, selbstständig Themen und Aufgabenstellungen zu bearbeiten, um diese in der Kooperationsphase, auch Pair-Phase genannt, ihren Mitschülern vorzustellen, zu erläutern oder sich mit ihnen auszutauschen.
Mit dem Think-Pair-Share-Ansatz können auch komplexe und weniger umfangreiche Themen angegangen werden.
Dieser Ansatz unterstützt insbesondere die Entwicklung des sozialen Lernens und trägt zu einer verbesserten Wissensspeicherung bei (vgl. Bönsch, 2002).
Dies lässt sich durch die hohe Aktivität der Studierenden erklären, die für diesen Ansatz erforderlich ist. Sobald die Schüler die Grundprinzipien der Methode des Teilens von Denkpaaren verstanden haben, können sie sie wiederholt in verschiedenen Formaten im Klassenzimmer anwenden.
Grober Verlauf: Think (Einzelarbeit) - Pair (Partnerarbeit) - Share (Vorstellung der Ergebnisse im Plenum)
Grober Ablauf der Unterrichtssequenz
Teil 1: Plenum - Aufbau & Strukturierung eines Baumdiagramms, Mathematisieren einfacher Situationen zu einem Baumdiagramm. (5-10 Minuten)
Teil 2: Think-Phase: Selbständiges Rätseln zur Produktregel.
Pair-Phase: Vergleichen der Ergebnisse zur Produktregel. (5 Minuten)
Teil 3: Share-Phase: Vorstellen der Ergebnisse aus der Share-Phase.
Plenum - Ergebnissicherung zur Produktregel. (5-10 Minuten)
Teil 4: Plenum - Zufallsexperiment mit der Urne mit Zurücklegen. (5-10 Minuten)
Teil 5: Plenum - Vorbereitung für Teil 6 und Teil 7 (5 Minuten)
Teil 6: Plenum - Zufallsexperiment mit der Urne ohne Zurücklegen.
Einzelarbeit - selbständige Erarbeitung der Summenregel mithilfe des Applets. (8-15 Minuten)
Teil 7: Plenum - Ergebnissicherung der Summenregel, knappe Wiederholung des Gelernten. (5-8 Minuten)
Unterrichtssequenz
Teil 1
Im ersten Teil der Unterrichtssequenz werden der Aufbau eines Baumdiagramms und die Anordnung in einem Baumdiagramm erklärt. Mit diesem Vorwissen werden erstmals mathematische Situationen mathematisiert.
Hier biete sich das Zeichnen für den Versuch eines drei-maligen Münzwurf an. Dieses wird im zweiten Teil benötigt.
Teil 2
Der zweite Teil beinhaltet eine Einzelarbeit, auch Think-Phase genannt, und eine Partnerarbeit, welche auch als Pair-Phase bezeichnet wird. In diesem Schritt sollen die SuS versuchen von allein auf die Produktregel zu kommen.
Hierbei kehren wir auf das gezeichnete Baumdiagramm aus Teil 1 zum 3-maligen Würfelwurf zurück. Die SuS besitzen jeweils eine Münze und haben die Aufgabe in der Einzelarbeit die Münze drei Mal zu werfen und das zusammengesetzte Ereigniss im Baumdiagramm zu markieren. Daraufhin versuchen die SuS Ideen zu sammeln, wie man auf die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit ihres Ergebnisses kommt.
Nun folgt die Share-Phase: Die SuS vergleichen die Ideen mit dem Sitznachbar und versuchen eine gemeinsame Lösung zu finden.
Teil 3
Im Plenum wird nun besprochen, welcher Ansatz der korrekte ist und die Produktregel korrekt erläutert.
Teil 4
In diesem Teil wird der Fall der Urne mit und ohne Zurücklegen experimentiert. Vor der Klasse steht eine Urne mit vier grünen und sechs roten Kugeln.
Nun wird ein Baumdiagramm von den SuS zum 3-maligen Ziehen an die Tafel gezeichnet.
Im Plenum werden mögliche Ideen besprochen, wie die Wahrscheinlichkeiten sich ändern könnten, wenn die Kugel nicht zurückgelegt wird.
Teil 5
Begonnen wird mit dem Ziehen einer Kugel mit dem Zurücklegen: Ein Freiwilliger darf eine Kugel ziehen und diese dann zeigen und wieder zurücklegen und den passenden Pfad im Baumdiagramm an der Tafel markieren. Der Freiwillige darf die Wahrscheinlichkeit nennen und wenn diese stimmt an den passenden Pfad am Baumdiagramm ergänzen. Dieser Schritt wird drei Mal wiederholt. Daraufhin berechnet man das zusammengesetzte Ereignis mithilfe der Produktregel.
Teil 6
Im Folgenden wird der selbe Ablauf für das Ziehen der Kugel ohne Zurücklegen durchgeführt. Hierbei ist zu beachten, dass die Wahrscheinlichkeit immer kleiner wird.
Für das Zurücklegen ohne Ziehen können die SuS das unten abgebildete Applet verwenden und sehen wie sich die Wahrscheinlichkeiten verändern, wenn man die Schieberegler für günstig und möglich verschiebt.
Des Weiteren können die SuS die zusammengesetzten Wahrscheinlichkeiten anklicken und somit sehen, wie sich diese zusammensetzten und wie man diese berechnet. Das Berechnen der zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit beruht auf der Summenregel, welche die SuS selbständig herausfinden können.
Teil 7
Abschließend wird im Plenum die Summenregel korrekt aufgearbeitet. Möglich wäre auch eine knappe Wiederholung des Stoffes der Unterrichtssequenz, also dem Zeichnen von Baumdiagrammen, der Produktregel und der Summenregel.
