Transformación de funciones
Transformación de funciones
Se entiende por transformación de funciones las alteraciones que sufre la gráfica de una función.
Tipos de transformación de funciones
Se consideran tres tipos de transformaciones:
- Traslación o desplazamiento
- Reflexión
- Expansión-compresión o dilatación-contracción
A continuación se presentan 5 applets:
Los 4 primeros permiten mostrar las diferentes transformaciones de la función original o modelo f(x).
Las funciones modelo mostradas son:
- Función cuadrática, f(x) = x2
- Función cúbica, f(x) = x3
- Una función periódica, f(x) = sen(x)
- Función valor absoluto, f(x) = |x|
En el applet No. V se muestra como función modelo f(x) = x2. A esta función se le aplica en forma sucesiva los tres tipos de transformación.
Traslación o desplazamiento
Son transformaciones rígidas que cambian la posición de la gráfica de una función. La gráfica puede trasladarse hacia arriba o hacia abajo y a la derecha o a la izquierda. Por lo tanto, hay traslaciones verticales y traslaciones horizontales.
Cuando se aplica una traslación a una función, la gráfica resultante conserva la forma y también la orientación de la función original o función modelo.
Traslación vertical se da cuando los puntos de una función se desplazan en el sentido del eje Y. Si f(x) es la función modelo, la función trasladada será f(x + k), siendo k un número real.
Si k > 0 la gráfica se traslada hacia arriba. Cada imagen de x aumenta verticalmente k unidades.
Si k < 0 la gráfica se traslada hacia abajo. Cada imagen de x disminuye verticalmente k unidades.
Traslación horizontal se da cuando los puntos de una función se desplazan en el sentido del eje X. Si f(x) es la función modelo, la función trasladada será f(x + k), siendo k un número real.
Si k > 0 la gráfica se traslada hacia la izquierda. Cada imagen de x disminuye horizontalmente k unidades.
Si k < 0 la gráfica se traslada hacia la derecha. Cada imagen de x aumenta horizontalmente k unidades.
Reflexión
Son transformaciones rígidas que cambian la posición de una gráfica con relación a una línea de tal manera que los puntos de la función modelo y los puntos de la función reflejada son opuestos a la línea de reflexión (están a igual distancia de la recta de reflexión).
La línea de reflexión actúa como un espejo y recibe el nombre de eje de simetría. Las dos gráficas, la original y la reflejada, son simétricas con relación al eje. En este caso se habla de simetría axial.
Cualquier recta puede ser utilizada como eje de simetría. Sin embargo, solamente se van a considerar dos casos especiales, tomando como referencia los ejes X y Y del plano cartesiano.
Reflexión sobre el eje X. Se da cuando el eje de simetría es el eje X. Si f(x) es la función modelo, la función reflejada será -f(x), o lo que es lo mismo, (-1)*f(x). Las secciones de la gráfica que son positivas se convierten en negativas y las negativas se convierten en positivas.
Reflexión sobre el eje Y. Se da cuando el eje de simetría es el eje Y. Si f(x) es la función modelo, la función reflejada será f(-x). Las secciones de la gráfica que están al lado derecho del eje Y pasan al lado izquierdo y las que están al lado izquierdo, pasan al lado derecho.
Expansión-compresión o dilatación-contracción
También llamada escalamiento. Es una transformación no rígida en la cual la gráfica experimenta un alargamiento o acortamiento horizontal o vertical.
Escalamiento vertical se da cuando la función se multiplica por un número real. Si f(x) es la función modelo, la función escalada será k*f(x). Se tiene dos casos:
Si 0 < |k| < 1 se tiene una compresión vertical. La distancia de cada punto al eje X se hace menor. Si k se acerca a 0, la gráfica se acerca a una recta horizontal. Si |k| se acerca a 1, la gráfica se acerca a la gráfica original.
Si |k| > 1 se tiene una expansión vertical. La distancia de cada punto al eje X se hace mayor.
Adicional a lo anterior, si k < 0, la gráfica sufre también una reflexión sobre el eje X.
Escalamiento horizontal se da cuando la variable independiente x se multiplica por un número real. Si f(x) es la función modelo, la función escalada será f(k*x). Se tiene dos casos:
Si 0 < |k| < 1 se tiene una expansión horizontal. La distancia de cada punto al eje Y se hace mayor. Si k se acerca a 0, la gráfica se acerca a una recta horizontal. Si |k| se acerca a 1, la gráfica se acerca a la gráfica original.
Si |k| > 1 se tiene una compresión horizontal. La distancia de cada punto al eje Y se hace menor.
Adicional a lo anterior, si k < 0, la gráfica sufre también una reflexión sobre el eje Y.
Se sugiere mostrar un solo tipo de transformación a la vez.
A continuación se tiene el applet V, en el cual la función f(x) = x2 se toma como función modelo.
A esa función se le hacen, en su orden, las siguientes transformaciones:
1. Traslación horizontal y/o vertical. Se obtiene la función fd(x). Se pueden mostrar los vectores de desplazamiento.
2. Escalamiento de la función anterior fd(x). Se pueden hacer los dos tipos de escalamiento:
a. Escalamiento vertical. Se obtiene la función ga(x). Se puede mostrar el segmento (distancia) de un punto al eje X.
b. Escalamiento horizontal. Se obtiene la función gb(x). Se puede mostrar el segmento (distancia) de un punto al eje Y.
Se reitera que si el número K por el cual se multiplica en un escalamiento es menor que cero, automáticamente,
además del escalamiento, se hace una reflexión.
3. Reflexión de la función ga(x) obtenido en el paso 2.a. (escalamiento vertical de fd(x). Se pueden hacer los dos tipos de reflexión. Se obtienen las funciones hax(x) y hay(x).