(*) Kegel und Kreise in Sek I und Sek II
Sekundarstufe I
- In der Sekundarstufe I wird ein Kegel raumgeometrisch als massiver Körper mit kreisrunder Grundfläche und einer Höhe verstanden und er hat dann ein Volumen.
- Schneidet man ihn mit einer Ebene, so würde eine Fläche entstehen, z.B. eine Ellipse oder im Sonderfall ein Kreis (oder ein Parabelsegment oder ein Hyperbelsegment).
- Kreise und Ellipsen werden in der Elementargeometrie üblicherweise als Flächen verstanden, die einen Flächeninhalt haben. Und wenn man einen Kreis ausschneiden soll, so wird man 'natürlich' eine Fläche ausschneiden.
- Die algebraische Kreisgleichung wird in der Sekundarstufe I nur selten angesprochen und noch seltener klargestellt, dass durch eine solche Gleichung eigentlich nur die Randlinie definiert wird.
- Parabeln und Hyperbeln werden aber in der Sekundarstufe I in der Regel als Graphen von entsprechenden Funktionen verstanden (was auch eine eingeschränkte Sicht ist), sind also 'natürlich' Linien und keine Flächen.
- Hier ist ein Bruch in der Sichtweise von Kreisen & Ellipsen gegenüber Parabeln & Hyperbeln, der gestaltpsychologisch darin begründet sein könnte, dass Kreise und Ellipsen als geschlossene Linien eher nach Flächen aussehen.
- Bei den Kegelschnitten wird dagegen (eher in der Sekundarstufe II) ein Kegel als unendlicher Doppelkegel verstanden, der durch Rotation einer Geraden (Mantellinie) um eine andere Gerade (Achse) entstanden ist. Er ist eine Fläche (eine sogenannte Regelfläche) und mit seiner Mantelfläche identisch. Anschaulich könnte man ihn auch als einen Hohlkörper deuten.
- Wird ein solcher Kegel von einer Ebene geschnitten, so erhalten wir Kurven als Schnittgebilde. Diese Kurven heißen Kegelschnitte und werden im Folgenden weiter untersucht.
- Kreis & Ellipse werden hier also auch - wie Parabel und Hyperbel - als Kurven verstanden. Wir haben da einen gewissen Bruch zwischen Sek I und Sek II, der nur selten thematisiert wird.
- Konstruiert man in GeoGebra einen Kreis (bzw. analog eine Ellipse), so erscheint in der Algebra-Ansicht die Gleichung und als Objekttyp Kegelschnitt. Damit ist klar, dass die graphische Repräsentation der Gleichung eine Kurve ist (sonst müsste für eine Fläche eine Ungleichung dort stehen).
- Man kann dann mit den Werkzeugen von GeoGebra sowohl den Umfang messen als auch den Flächeninhalt. Aber beides ist in GeoGebra keine Eigenschaft des Objekts Kreis (das ist vielmehr die Gleichung).
- Als graphische Effekte kann man beim Objekt Kreis sowohl den Aspekt Kurve als auch den Aspekt Fläche hervorheben. Unter Darstellung kann man nämlich die Linienstärke und die Deckkraft von Linien verändern und unter Farbe die Deckkraft. Bei Deckkraft = 0 sieht man nur die Kurve/ die Randlinie und keine Füllung. Bei Deckkraft = 100 und Deckkraft von Linien = 100 ist der Kreis in gleicher Farbe und Intensität wie die Randlinie gefüllt und man kann Kreislinie und Kreisfläche optisch nicht mehr unterscheiden. Bei Deckkraft = 50 und Deckkraft von Linien = 100 ist der Kreis mit geringerer Intensität gefüllt und man kann dabei Kreislinie und Kreisfläche optisch klar unterscheiden.
- Es gibt in GeoGebra zwei unterschiedliche Typen von Kegeln.
- Konstruiert man in GeoGebra 3D einen Kegel aus zwei Punkten und Radius der Grundfläche, so ist das erzeugte Objekt ein massiver Kegel, der als Eigenschaft ein Volumen hat. Ebenso beim Erzeugen durch Extrudieren. Das bedient die Sichtweise der Sekundarstufe I.
- Konstruiert man in GeoGebra 3D aber einen Kegel aus zwei Punkten und einem Winkel, so ist das erzeugte Objekt ein unendlicher hohler Doppelkegel, der als Eigenschaft eine Gleichung hat. Das bedient die Sichtweise der Sekundarstufe II, Kegelschnitte.
- Dies ist in der deutschen Version leider nicht sauber getrennt, weil jedesmal der gleichlautende Befehl Kegel benutzt wird. In der englischen Version gibt es dafür zwei Befehle, cone und infinitecone. Das macht den Unterschied deutlicher und leichter verständlich.