Relações entre coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas
Para completar, temos as coordenadas esféricas, também usadas para melhor representar superfícies (de preferência, com natureza esférica). Diferentemente das coordenadas cilíndricas, agora há novos "integrantes", a saber:
, o raio da esfera;
, o ângulo percorrido no plano ;
, o ângulo percorrido no semieixo positivo do eixo ao semieixo negativo do eixo.
Note que, ao varrer completamente os ângulos e (mantendo o raio constante), obteremos uma esfera de raio . Talvez essa alusão tenha sido suficiente para justificar o porquê da variação de não ser igual à variação de .
Dado um ponto em coordenadas esféricas, ele será da forma . Evidentemente, ele ainda existirá na forma cartesiana cotidiana, na forma . Ademais, as relações entre coordenadas são dadas por:
A partir delas, conseguimos chegar em outras duas relações, que também podem ser úteis:
Na segunda linha, consideramos , pois caso seja verdadeiro, teremos e o ponto estará localizado sobre o eixo, isto é, não haverá necessidade de fazer cálculo pela fórmula.
Finalmente, temos que:
, pois
Conseguinte, temos uma espécie de conversor de coordenadas esféricas em cartesianas e vice-versa. Sugerimos que selecione uma caixa de cada vez, para melhor visualização. Haverá uma esfera que contém o ponto desejado para que se tenha uma melhor visão da coordenada esférica. Pode ser que ela se torne mais interessante quando você começar a lidar com parametrização de superfícies (de naturezas esféricas, de preferência) ou integral de superfície. De qualquer forma, é importante saber as transformações.