Verificación de axiomas Vectores en R2 (evre)
Verificaremos cada axioma para para comprobar que el conjunto de todos los puntos del plano cartesiano, con las operaciones estándares, tiene estructura de espacio vectorial real y estándar
Axioma 1: (La suma es cerrada) Para todo u,v de R2, el vector u+v también "vive" es un punto del plano cartesiano
La idea para demostrar que no se cumple:
arrastra u y v de tal manera que la suma s no sea un punto del plano
Que no lo veas a s en la pantalla, no significa que s no sea un punto del plano, probablemente solo sea cuestión de cambiar la escala.
Finalmente: ¿Qué es lo que caracteriza a cualquier punto como que pertenece ("vive" en el) al plano cartesiano R2?
simplemente que tenga dos componentes, y que cada componente sea real.
Por tanto estás listo para validar que el axioma 1 se cumple en este caso: mientras s tenga dos componentes y cada componente sea real, se cumplirá
Axioma 2 (la suma es asociativa): Para todo u,v,w de R2, el vector (u+v)+w=u+(v+w)
El deslizador elige mostrarte un cuenta o la otra.
Las sumas parciales y te sirven de guía.
Quizá la mejor forma de visualizar este axioma sea reemplazar los puntos por flechas y usar la analogía de la suma de vectores en forma funicular
Axioma 2 (la suma es asociativa): Analogía con flechas (1-2)
Mueve el deslizador y verás (suma por el método del paralelogramo) que se puede asociar tres vectores.
También puedes cambiar cada vector simplemente "estirando" la respectiva flecha, o en la ventana algebraica.
Otro método para visualizar el mismo axioma 2 (la suma poligonal) se ve abajo
Axiomas 3 y 4: existencia de neutro y opuesto
En este caso, usamos el mismo applet, porque es bastante intuitiva la idea del vector nulo para la operación de suma estándar
Axioma 5: Ley conmutativa
Esta ley se prueba visualmente solamente moviendo el deslizador y prestando atención
Axioma 6; Este axioma es similar al primero. Hay que escalar un vector del plano y verificar que el escalado es también vector del plano.
Axioma 7: Distributividad del escalamiento en la suma
Axioma 8: Distributividad de la suma en el escalamiento.
Axioma 10: Producto y escalamiento (Asociatividad mixta)