Nachrechnen der Sigmaregeln
Sigmaregeln und Normalverteilung
Bei der Standardnormalverteilung ist der Erwartungswert gleich und die Standardabweichung . Dass heißt die einfache -Umgebung ist das Intervall , die zweifache -Umgebung ist das Intervall u.s.w..
Wenn man über die Standardnormalverteilung von bis integriert, bekommt man - wie in den Sigmaregeln beschrieben - heraus.
Die Funktionsgleichung der Standardnormalverteilung ist
Um die Vielfachheit der -Umgebung für eine vorgegebene Sicherheitswahrscheinlichkeit () zu berechnen, muss also de folgende Gleichung nach aufgelöst werden:
Beispiel:
Für eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von muss folgende Gleichung gelöst werden:
Mit dem HP-Prime macht man das mit folgender Anweisung:
solve oder solve(normal_cdf(0,1,-c,c)=0.8, c)
Mit Geogebra ist das im CAS-Modus auch möglich:
nlöse(Normal(0,1,c,true)-Normal(0,1,-c,true)=0.8,c)
In der folgenden App können Sicherheitswahrscheinlichkeiten eigegeben werden und als Ergebnis wird diese als Fläche unter der Standardnormalverteilung abgebildet und das dazu gehörende c wird berechnet:
c aus der Sicherheitswahrscheinlichkeit berechnen
Sicherheitswahrscheinlichkeit aus c berechnen
Wenn man in das folgende Geogebra-Applet das Vielfache der Sigmaumgebung eingibt, erhält man die Sicherheitswahrscheinlichkeit als Ergebnis: