El área dinámica. La explanada de Alicante
La visión dinámica del área dió lugar a plantearnos un problema geométrico de uno de los paseos más populares de la ciudad de Alicante
La Explanada tiene casi 600 metros de longitud y transcurre entre cuatro filas de palmeras paralela al puerto. El suelo forma un mosaico que imita las olas del Mediterráneo y está formado por 6 millones y medio de teselas de mármol de tres colores entre las que destaca un rojo apagado con vetas blancas que se da en esta zona.
Cálculo del área de una onda
Vamos a utilizar este diseño para calcular el área de una región del mosaico, la que se encuentra entre dos de esas olas. En principio puede parecer complicado porque el recinto es curvo a lo que se añade que unas regiones sean más anchas que otras.
Veremos que podemos hacerlo más sencillo de lo que parece. En la parte superior tenemos un rectángulo cuyas dimensiones están marcadas (las puedes modificar en parte inferior de la ventana izquierda). El área del rectángulo es muy sencillo de calcular. Tenemos una fórmula para hacerlo: S =b*h . Otra forma de obtener ese rectángulo consiste en tomar un segmento que se desplaza de izquierda a derecha perpendicularmente a la base para ir barriendo la región marcada por el rectángulo. Activa la casilla Rectángulo y pulsa sobre el botón Play para iniciar la animación que sombrea poco a poco esa figura.Vamos a analizar ahora la región ondulada. Está limitada por semicircunferencias que podríamos llamar paralelas. Puedes comprobarlo pulsando al botón Play que encontrarás justo debajo de Traslada los arcos comprobarás que cada uno de los cuatro arcos inferiores se desplaza hacia arriba para ocupar el lugar del correspondiente en la parte superior.
Con esto comprobamos que la separación entre las dos curvas formadas por semicircunferencias es siempre la misma a pesar de que nuestro cerebro nos hace creer que hay partes mucho más anchas que otras. Y es que la separación entre las curvas, medida verticalmente, sí que es siempre la misma. Activa la casilla de la Región ondulada y pulsa de nuevo Play para iniciar una nueva animación de sombreado en la que un segmento del mismo tamaño que el anterior se desplaza horizontalmente pero ahora no lo hace sobre un segmento recto sino sobre las curvas de las semicircunferencias. Activa ahora las dos casillas: la del rectángulo y la de la región curva, puedes comprobar que el desplazamiento de los dos segmentos es el mismo independientemente de la figura en la que se encuentra, por lo tanto la cantidad de área que ha barrido será la misma en las dos figuras.Otra mirada para resolver el problema.
En una visita de Manuel Sada a Alicante, durante nuestro paseo por la Explanada le conté las ideas del applet anterior y la resolución del problema del área cuando ampliamos la visión de las fórmulas para el cálculo de superficies que estudiamos en la escuela. A su vuelta a Pamplona me envió el siguiente applet que nos introduce en la descomposición-composición de figuras para obtener el área de una figura. Pulsa el botón Play para iniciar la animación:
Esta actividad y los dos applets forman parte de la Ruta Matemática de la Ciudad de Alicante diseñada por Noemí Armengol y Belén Martínez en MathcityMap.
Más información acerca de este enfoque dinámico del área en esta dirección http://jmora7.com/GG5/Mitad/0-0TX/13area.html.
También en el siguiente artículo
Parker, j. Revisando el concepto de área. En Walter (1988). Geometría. pp 23-31 (MEC: Madrid).