Das Volumen der Pyramide - Cavalieri
Zunächst ein Beispiel aus dem Alltag... Was haben alle vier Papierstapel gemeinsam?
Zwei Stapel aus gleich vielen, identischen Platten haben immer dasselbe Volumen. Die folgende Animation veranschaulicht dies nochmal eindrucksvoll. Probiere dazu die beiden Schieberegler aus.
Das Prinzip zum Vergleich von Volumina zweier Körper können wir auch auf diejenigen Körper übertragen, die nicht aus einzelnen Platten bestehen. Dazu werden beide Körper durch eine Ebene parallel zur Grundfläche der Körper geschnitten (in der Animation blau gefärbt). Probiere dazu die Funktion "solids" aus (entsprechendes Kästchen anklicken) und verschiebe die blaue Schnittebene.
Mit den obigen Beobachtungen können wir nun den Satz von Cavalieri besser nachvollziehen. Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
1. Die Flächeninhalte der beiden Grundflächen sind gleich.
2. Beide Körper haben die gleiche Höhe.
3. Für jeden Schnitt mit einer zu Grundfläche parallelen Ebene haben die Schnittflächen der beiden Körper
jeweils den gleichen Flächeninhalt.
Beachte: Die Flächen, die jeweils zu vergleichen sind, müssen die gleiche Größe haben, aber nicht zwingend die gleiche Form.
Beispiel: Wir wollen das Prinzip von Cavalieri auf diese beiden Körpern anwenden.
Um den Satz von Cavalieri anzuwenden, müssen wir zeigen, dass je zwei Schnittflächen, die durch den Schnitt einer zur Grundfläche parallelen Ebene entstehen, gleich groß sind. Berechne die Schnittflächen der beiden Körper, vergleiche sie und kontrolliere deine Lösung mit der hinterlegten "Musterlösung.
Vorsicht: In der Abbildung ist nur der Schnitt einer Ebene dargestellt. Theoretisch sind alle Schnitte zu überprüfen.
Welche weiteren Voraussetzungen müssen die beiden Körper erfüllen, damit der Satz von Cavalieri angewendet werden kann?
Jetzt sind alle Voraussetzungen für den Satz von Cavalieri erfüllt. Klicke die richtige Aussage an. Die beiden Körper sind nach dem Satz...
Oben siehst du zwei unterschiedliche Pyramiden, die aber die gleiche Höhe und identische Grundflächen haben. Mithilfe des Strahlensatzes kann man beweisen, dass dann auch die Schnittflächen G1 und G2, die beim Schnitt einer zur Grundfläche parallelen Ebene entstehen, identisch sein müssen.
Nach dem Satz von Cavalieri folgt daher: Zwei Pyramiden, mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, besitzen dasselbe Volumen.Die Beziehung zwischen Prisma- und Pyramidenvolumen
3. Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide: Wir wollen nun das Volumen der orangen dreiseitigen Pyramide berechnen. Wir ergänzen diese durch zwei Ergänzungspyramiden (gelb und lila) zu einem Prisma. Verschiebe die weißen Punkte so, dass ein Prisma entsteht. Den blauen Punkt kannst du verwenden, um die Abmessungen der Körper zu ändern. Den gelben Punkt bitte nicht verändern, sonst kannst du nicht mehr weitermachen.
Wir wollen nun wieder den Satz von Cavalieri auf die Pyramiden anwenden und zeigen, dass sie alle volumengleich sind. Drehe dazu die Ansicht und verschiebe die Pyramiden so, dass du bei einer Ergänzungspyramide und der orangen Pyramide gut erkennen kannst, dass sie in der Grundfläche übereinstimmen. Drehe jetzt die Ansicht, um noch zu überprüfen, ob auch die Höhe übereinstimmt. Verfahre ebenso mit der anderen Ergänzungspyramide.
Hinweise zur Verwendung des Applets:
Für das Drehen der Ansicht muss das Kästchen 
aktiviert sein,
für das Verschieben von Objekten muss stattdessen das Kästchen 
aktiviert sein.
Hilfe:
Wenn du nicht weiterkommst, hole dir einen Tipp in der Lösung. (Bei der Antwort einfach ein Leerzeichen einfügen und die Lösung anschauen)
Erkläre, was uns das Überprüfen gebracht hat.
Das Volumen der Pyramide Folgere mit diesem Wissen aus der Volumenformel des Prismas das Volumen der Pyramide.
Wir können dieses Verfahren auf jede Pyramide mit n-eckiger Grundfläche verallgemeinern, da jedes n-Eck in Dreiecke zerlegt werden kann und damit eine solche Pyramide in dreieckige Pyramiden gleicher Höhe zerlegt werden kann. Sind G1,.... Gn ihre Grundflächen, so gilt:
