Um triângulo equilátero (ou muitos?)

• Se , em quais quadrantes pode estar o ponto ?
• Dê dois exemplos de pontos assim.

• Se , em quais quadrantes pode estar o ponto ?
• Dê dois exemplos de pontos assim.

Deixe o controle deslizante em . Faça o seguinte: 1. Calcule a distância de até analiticamente. Confira o resultado com o valor que aparece na figura.

2. Esqueça o ponto da figura.

• Chame as coordenadas do ponto que estamos procurando de .
• Escreva uma expressão para a distância entre e .
• Iguale esta expressão ao valor da distância entre e (pois queremos que o triângulo seja equilátero).
• Use a expressão exata para a distância entre e , com a raiz quadrada e tudo (em vez da aproximação numérica).

3. Escreva uma expressão para a distância entre e . 4. Iguale esta expressão também ao valor da distância entre e .

5. Iguale as duas expressões que você achou nos dois itens anteriores. 6. Simplifique esta igualdade até não poder mais. 7. A qual igualdade singela você chegou?

8. Faça a substituição usando a igualdade do item anterior em uma das equações do item (2) ou (3). Tanto faz qual você escolher. 9. Rearrume tudo. A que equação do segundo grau você chegou?

10. Resolvendo a equação do segundo grau, você vai chegar a dois valores de . 11. Cada um destes valores corresponde a um valor de . Qual e qual? 12. Agora, volte ao aplicativo lá em cima e entre na barra de input (na parte de baixo da janela), usando os valores dos dois pares de coordenadas que você achou (um par de cada vez) o seguinte texto:

C=(x,y)

• Você está aprendendo programação.
• Um programa é escrito uma só vez, mas pode resolver uma quantidade imensa de problemas.
• No gráfico lá em cima, existe um controle deslizante para o valor de . Brinque com ele.
• Isto vai estragar o seu triângulo equilátero.
• Perceba que os pontos e têm as coordenadas e , respectivamente.
• Refaça todos os passos para construir o triângulo equilátero, desta vez usando em vez de 2.
• Você vai chegar a coordenadas de que são expressões em função de .
• Resolva a equação de segundo grau à mão, e depois no CAS do Geogebra.
• No final, entre no primeiro aplicativo, lá em cima, a expressão C=(..., ...), onde as reticências são as expressões que você achou.
• Feito isto, brinque com o controle deslizante do valor de e veja que o triângulo continua equilátero.
• Parabéns. Você resolveu o problema para todos os valores de (menos um, na verdade; qual?).