Conjuntos
A. Definición de Conjunto
El conjunto se define como una colección de ciertos objetos que tienen una definición clara y se consideran como una única entidad.
Observa el siguiente ejemplo:
- El conjunto de animales con dos patas
- El conjunto de números naturales
- Bonita colección de pinturas
- Grupo inteligente de personas
¿Puedes decir cuál es un conjunto y cuál no?
Los ejemplos 1 y 2 son conjuntos, mientras que los ejemplos 3 y 4 no lo son.
Para quienes aún tengan dudas, aquí está la explicación:
En el ejemplo 1, los animales con dos patas son reconocibles para todos; cualquier animal con dos patas, como las gallinas, los patos o los pájaros, será incluido en esta categoría. ¿Todos estamos de acuerdo en que estos animales tienen dos patas? Por supuesto. Entonces, los animales con dos patas tienen una definición clara, por lo que constituyen un conjunto. El ejemplo 2, los números naturales, también tiene una definición precisa, por lo que es un conjunto.
En cambio, en el ejemplo 3, las pinturas bonitas, y en el ejemplo 4, las personas inteligentes, no tienen una definición clara. Los términos "bonito" e "inteligente" varían según la persona. Por ejemplo, yo puedo pensar que la pintura A es bonita, pero tú podrías no estar de acuerdo. Por lo tanto, una bonita colección de pinturas y un grupo de personas inteligentes no constituyen conjuntos.
Ejemplo ¿Cuál de los siguientes conjuntos es un Conjunto?
B. Representación de Conjuntos
1. Expresión mediante enumeración de sus elementos
Un conjunto se puede expresar nombrando todos sus elementos dentro de llaves. Cuando los elementos son muy numerosos, esta forma de escritura suele modificarse, utilizando puntos suspensivos ("…") con el significado de “y así sucesivamente siguiendo el mismo patrón”.
Ejemplos:
A = {3, 5, 7}
B = {2, 3, 5, 7}
C = {a, i, u, e, o}
D = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
2. Expresión mediante las características de sus elementos
Un conjunto también puede expresarse mencionando las propiedades que tienen sus elementos.
Ejemplos:
A es el conjunto de todos los números impares mayores que 1 y menores que 8.
B es el conjunto de todos los números primos menores que 10.
C es el conjunto de todas las vocales del alfabeto latino.
D es el conjunto de los números enteros.
3. Expresión mediante notación de comprensión de conjuntos
Un conjunto se puede expresar escribiendo las condiciones que debe cumplir cada elemento para pertenecer al conjunto. Esta notación suele ser de la forma general {x | P(x)}, donde x representa los elementos del conjunto y P(x) representa las condiciones que debe cumplir x para ser miembro del conjunto. El símbolo x puede ser sustituido por otras variables, como y, z, entre otras.
Por ejemplo, A = {1, 2, 3, 4, 5} puede expresarse mediante la notación de comprensión como A = {x | x < 6 y x es un número natural}. Este conjunto se puede leer como "El conjunto de x tal que x es menor que 6 y x es un número natural". Sin embargo, si se comprende bien, este símbolo suele leerse simplemente como “El conjunto de números naturales menores que 6”.
Ejemplos:
A = {x | 1 < x < 8, x es un número impar},
(lectura: A es el conjunto cuyos elementos son todos los x tales que x es mayor que 1 y menor que 8, y x es un número impar).
B = {y | y < 10, y es un número primo}.
C = {z | z es una vocal del alfabeto latino}.
C. Diagrama de Venn
La forma de representar un conjunto también puede expresarse mediante dibujos o diagramas, llamados Diagramas de Venn. Este tipo de diagrama fue introducido por el matemático inglés John Venn (1834 – 1923). Las instrucciones para crear un Diagrama de Venn incluyen:
- El conjunto universal (S) se representa como un rectángulo y se coloca la letra S en la esquina superior izquierda.
- Cada conjunto dentro del conjunto universal se representa mediante una curva cerrada simple.
- Cada elemento del conjunto se indica con un punto.
- Si el conjunto tiene muchos elementos, no es necesario escribir cada uno de ellos.
Observa el ejemplo de representación de un Diagrama de Venn a continuación.
Diagrama de Venn para el conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, el conjunto A = {1, 2, 3} y el conjunto B = {4, 5, 6} se presenta de la siguiente manera.
2. El diagrama de Venn del conjunto S ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, el conjunto A ={1, 2, 3, 4}, el conjunto B ={ 4, 5, 6, 7} es como sigue.
D. Operaciones con conjuntos
Hasta ahora estás familiarizado con las operaciones con números. Al igual que los números, los conjuntos también pueden operar entre sí. Las operaciones de conjuntos incluyen:
- Intersección
- Unión
- Diferencia
- Complemento
Aqui tenéis unos videos (están en inglés pero podéis activar los subtítulos) para aclarar conceptos.
EJERCICIO
1. Elige de los siguientes cuál no es un Conjunto:
2. Da dos ejemplos de conjuntos expresados mediante las características de sus elementos.
3. Conjunto P = {x2x8, xNúmeros naturales}, si se enuncia dando sus miembros es...
Las preguntas 4 a 8 se basan en el siguiente esquema de Venn. Podéis hacer click en las casillas para ver las respuestas.
4. Determina
5. La intersección de y es...
6. Determina el conjunto complementario de A
7. Determina
8. Determina
9. En una clase, hay 20 estudiantes a quienes les gusta beber leche, 15 estudiantes a quienes les gusta beber té, 5 estudiantes a quienes les gustan ambas bebidas, y 3 estudiantes que no están contentos con ninguna de las dos. El número de estudiantes en la clase es
10. En una clase hay 30 estudiantes. Entre ellos, 20 estudiantes gustan de Matemáticas, 15 estudiantes gustan de Física, y 10 estudiantes gustan de ambas. ¿Cuántos estudiantes no gustan de ninguna de las dos?