Tangentenstückchen ::: Unterricht mit MMS
Kurzinformation
- Einführungsphase Mathematik
- Funktionen und Analysis
- Ableitungsfunktion
- Ziel: Die Lernenden nähern sich explorativ der Ableitungsfunktion
- Dauer: 90-120 Minuten
- SchülerInnenmaterial: https://www.geogebra.org/m/udmtgbgy
- Spezielle Materialien: AB Graphisches Differenzieren
Vorwissen und Voraussetzungen
Die SchülerInnen können...
- geometrisch näherungsweise eine Tangente (in präformalem Verständnis als eine sich an den Graphen anschmiegende Gerade) in einem Punkt an einen Funktionsgraphen anlegen,
- aus dieser Geraden näherungsweise die Steigung ablesen bzw. von GeoGebra ablesen lassen - ein ungefähres Maß für die Steigung sollte aber intuitiv ermittelt werden können.
- Die Lehrpersonen kennen die Konstruktion der eckig dargestellten roten Punkte: Die x-Koordinate stimmt mit der x-Koordinate des am Graphen befestigten Punktes überein, die y-Koordinate entspricht der Steigung des Geradenstückchens.
- Die Lehrpersonen sind sich darüber bewusst, dass die durch die roten Punkte angedeuteten Graphen der Ableitungsfunktionen nur sehr ungenau angedeutet werden, egal wie nah man heranszoomt. Diese Ungenauigkeit ist kein Mangel, sondern beabsichtigt und wird als didaktische Chance begriffen.
Lernergebnisse und Kompetenzen
Kompetenzen, die durch den Materialeinsatz aufgebaut werden können:
- Die Schüler:innen können benennen, dass der Abstand des Punktes zur x-Achse umso größer ist, je steiler die Tangente ist, genauer: Je größer/kleiner die Steigung der Tangente, desto größer/kleiner ist die y-Koordinate des entsprechenden roten Quadrates.
- Die Schüler:innen formulieren die Hypothese, dass dort, wo die Steigung der Tangente gleich 0 ist (wo also die y-Koordinate des roten Quadrates ebenfalls 0 ist), beim Graphen von f ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt (eigentlich: vorliegen könnte). Gegebenenfalls wird diese Hypothese durch das Betrachten von Sattelpunkten weiter exaktifiziert.
- Die Schüler:innen interpretieren die durch die roten Punkte angedeutete Funktion als Funktion der Tangentensteigungen an den jeweiligen Stellen des Funktionsgraphen (ggf. unter dem Begriff der Ableitungsfunktion).
Didaktische Hinweise zur Aufgabe
Zu den wesentlichen Absichten des Zugangs zählt, dass mit Blick auf den funktionalen Zusammenhang gleichzeitig der Blick auf den Punkt (Mikroanalyse) als auch der Blick auf das Ganze (Makroanalyse) unterstützt wird: die Mikroanalyse ermöglicht Fokussierung auf Zuordnungsaspekte (Zusammenhang z.B. von Extremstellen bei f und Nullstellen bei f ’ etc.), die Makroanalyse erlaubt den Fokus auf die Funktion als Ganzes.
Die Dynamisierung ermöglicht Fokussierung auf Kovariation: Gleich- und gegensinnige Kovariationsaspekte sind bei der Beurteilung des Änderungsverhaltens direkt erlebbar durch die Einstellung der Steigung im Zugmodus.
Der explorative Zugang beinhaltet eine natürliche Differenzierung: nahezu kalkülfrei können zutreffende Hypothesen getroffen werden, deren Verifizierung argumentativ in unterschiedlich exaktem Niveau erfolgen kann.
Die Aufgabe fokussiert auf die Verständnisorientierung, weil der Zugang zur Ableitungsfunktionion handlungsorientiert und ohne größeren Rückgriff auf Vorkenntnisse auf Verfahren erfolgt.
Veränderungsvorschläge / Zusätze im Material
- Weitere Variationen in der Grundaufgabe
- Umformulierung der Aufgaben
- Erweiterung für die Starken
Aktivität 1 | Die Steigung eines Funktionsgraphen (15 min)
Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/quxyqggq
In dieser Aufgabe sind in regelmäßigen Abständen an einem Funktionsgraphen Strecken angebracht, die sich drehen lassen. Die Aufgabe besteht dann darin, sie nach Augenmaß so zu drehen, dass sie den Graphen an dieser Stelle möglichst gut approximieren, also tangential werden. Durch das Drehen der Strecken wird weiterhin ein Punkt, der sich in der Ausgangssituation an der gleichen Stelle auf der x-Achse befindet, so bewegt, dass seine y-Koordinate der Steigung der jeweiligen Strecke entspricht.
Aktivität 2 | Regeln erkunden (25 min)
Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/jscacerp
Hier wird das Applet als heuristisches Instrument verwendet, um Vermutungen hinsichtlich der Ableitungsfunktion an konkreten Beispielen aufzustellen.
Aktivität 3 | Überprüfen des Lernerfolges (10 min)
Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/udmtgbgy
Zuordnung vom Funktionsgraphen zum Graphen: Hier wird überprüft, ob die Lernenden ein intuitives Verständnis darüber aufgebaut haben, wie zu einem gegebenen Funktionsgraphen der Graph der Ableitungsfunktion aussieht.
Dadurch wird nicht nur das Gelernt gefestigt, sondern auch die Sicherung / Hausaufgabe vorbereitet.
Sicherung / Hausaufgabe
Die Lernenden treffen, basierend auf den Erkenntnissen aus Ausgabe 3, qualitative Ausssagen über den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (Grad, Anzahl der Extrema, Verhalten im Unendlichen, usw.)
Probleme und Lösungsmöglichkeiten
- Das Applet selbst ist zum Nachbauen für die meisten Schüler:innen der EF vermutlich zu kompliziert. Es ist aber möglich, die Lernenden die Konstruktion zumindest in vereinfachter Form selbst erstellen zu lassen.
- Ausblick: Während der hier dargestellte Zugang zunächst einen explorativen Zugang zur Ableitungsfunktion darstellt, kann die Datei auch als begleitendes Werkzeug zur Hypothesenbildung verwendet werden.
Literaturangaben / Quellen
- Schmidt, Reinhard / Riemer, Wolfgang (2013): Grafisch ableiten. Eine „Sternstunde“ zu Beginn der Analysis. In: PM Praxis der Mathematik in der Schule 55 (50). S. 41-42.
- Heintz, G., Elschenbroich, H.-J., Laakmann, H., Langlotz, H., Rüsing, M., Schacht, F., Schmidt, R., & Tietz, C. (2017). Werkzeugkompetenzen. Kompetent mit digitalen Werkzeugen Mathematik betreiben. Medienstatt. S. 102 ff.