Problema do tesouro dos Piratas usando Polya

Uma história conta que, há muitos anos, o pirata Barba-Ruiva resolveu enterrar seu tesouro. Escolheu uma ilha onde a única praia tinha duas grandes rochas junto à água, e uma enorme palmeira mais distante da praia. Mandou dois dos piratas de seu bando para a palmeira e deu-lhes a seguinte ordem: cada um deveria andar até uma rocha contando os passos. Chegando à rocha, eles deveriam girar 90º, um no sentido horário e outro no sentido anti-horário e andar uma distância igual à que a respectiva rocha estava da palmeira. Nenhum dos piratas se molhou. Os dois piratas ficaram parados e Barba-Ruiva enterrou o tesouro exatamente a meio caminho entre eles. Por acaso, encontramos o documento onde isto estava descrito e resolvemos ir até a ilha à procura do tesouro. Lá encontramos as rochas junto à água, mas, infelizmente, a palmeira havia desaparecido, provavelmente derrubada por um furacão.  Como a praia agora é um destino turístico conhecido, não podemos andar e escavar por todo o lado sem levantar suspeitas. A única hipótese é aproveitar uma noite, antes de amanhecer, e fazer apenas um buraco. Onde devemos escavar para descobrir o tesouro?

• É possível resolver o problema?
• Se for possível, o que é preciso calcular? Ou seja, qual seria a incógnita?
• Quais são os dados? Quais são as condicionantes?
• É possível satisfazer as condicionantes? As condicionantes são suficientes para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória?
• Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?
• Se não for possível resolver o problema, qual é a justificativa?

• É possível que alguns estudantes achem que não é possível resolver o problema, porque parece que um importante dado (palmeira) não poderá ser usado. Então, peça para que os estudantes provem que o problema não pode ser resolvido.
• Alguns estudantes podem ter dúvidas se o que precisam calcular é uma distância ou coordenadas de um ponto.
• Alguns estudantes podem achar que os dados não são suficientes para resolver o problema. Perguntarão quantos passos há entre as rochas e entre as rochas e a palmeira.
• Alguns estudantes poderão achar irrelevante a informação "Nenhum se molhou".

Faça as seguintes questões aos estudantes:

• Você já o viu este problema antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?
• Conhece um problema parecido? Conhece um problema que poderia ser útil?
• É possível representar essa situação num desenho?
• É possível pensar numa adaptação para um problema mais simples?
• É possível modelar a situação no GeoGebra?

• Se os estudantes disserem que já viram um problema parecido, então peça para eles utilizarem a estratégia de resolução neste;
• Se os estudantes não avançarem, peça para fazerem um desenho que possa representar a situação. Disponibilize réguas, compassos, esquadros e transferidores;
• Se não conseguirem avançar após o desenho, peça para considerarem as seguintes distâncias:

• Se não conseguirem avançar peça para modelarem no GeoGebra. Após modelarem, peça para eles arrastarem/mudarem a posição da palmeira e observarem a posição do tesouro. Peça também para mudarem a posição de uma das rochas. Faça-os perceberem que a posição do tesouro não depende da palmeira. Depende de quê então?
• Peça para usarem outras ferramentas do GeoGebra para encontrarem a solução.
• Se não encontrarem a solução, peça para eles construirem no GeoGebra algo parecido com o seguinte:

Nos comentários anteriores já demos algumas dicas do que pode acontecer na Execução do Plano. Colocaremos mais alguns comentários aqui.

• Se os estudantes não conseguirem avançar muito na resolução você pode auxiliá-los colocando partes da resolução e pedindo para que eles expliquem.
• Pode colocar dicas também. Por exemplo, mostrar a seguinte imagem:

• Se os estudantes não conseguirem fazer, mostre a imagem seguinte:

• Desafie os estudantes a resolverem o problema utilizando outro método. Alguns estudantes de graduação já resolveram utilizando vetores ou coordenadas polares.
• Altere a resolução apresentada anteriormente, colocando R1 na posição (-1, 0). Nesse caso, quais seriam as coordenadas de T?
• Diante do que viram na resolução, peça para os estudantes apresentarem uma orientação de onde devem cavar o buraco para encontrarem o tesouro.
• E se o pirata tivesse falado no final: enterre o tesouro na terça parte entre o pirata 1 e o pirata 2.