Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Třída

Vzájemná poloha rovin

Vzájemná poloha dvou rovin

Pokud mají dvě různé roviny společný bod, pak mají také společnou přímku, která prochází tímto bodem. Kromě této přímky však nemají žádný další společný bod. Dvě různé roviny α a β jsou různoběžné, pokud mají společnou přímku p. Přímka p se nazývá jejich průsečnice a zapisujeme ji jako: p = α ∩ β. Pokud je přímka rovnoběžná s dvěma různoběžnými rovinami, pak je rovnoběžná i s jejich průsečnicí.[8]

Různoběžnost dvou rovin

Pokud dvě různé roviny α a β nemají žádný společný bod, jsou rovnoběžné. Zapisujeme jako α || β. Platí kritérium rovnoběžnosti dvou rovin: ,,Dvě roviny α a β jsou rovnoběžné, jestliže v jedné z nich, např. α leží dvě různoběžné přímky p, q, které jsou rovnoběžné s rovinou β.“ ,,Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou rovinu s ní rovnoběžnou“

Rovnoběžnost dvou rovin

Pokud dvě různé roviny α a β mají všechny body společné, jsou totožné (splývající rovnoběžné roviny). Zapisujeme jako α = β.

Totožnost rovin

Máme dvě rovnoběžné roviny α a β, a dva body A ∈ α; B ∈ β. Průnik poloprostorů αA a βB se nazývá vrstva. Roviny α a β jsou hraniční roviny a vzdálenost hraničních rovin se nazývá šířka (tloušťka) vrstvy. [8]

Vrstva rovin

Máme dvě různoběžné roviny α a β, a dva body A ∈ α; B ∈ β. Průnik poloprostorů αA a βB se nazývá klín. Přímka p se nazývá hrana klínu a poloroviny αA a βB se nazývají stěny klínu. [8]

Klín rovin

Vzájemná poloha tří rovin

Existuje pouze 5 možností pro vzájemnou polohu tří rovin, pro tři různé roviny α, β, γ bude platit vždy jedna z těchto možností:
  • Každé 2 roviny jsou rovnoběžné. Přičemž platí že, rovnoběžnost rovin je vztah tranzitivní: je-li α || β, β || γ, pak je α || γ.

Tři navzájem rovnoběžné roviny

  • Dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná v rovnoběžných přímkách.
  • Každé dvě roviny jsou různoběžné a všechny roviny se protínají právě v jedné přímce.
  • Každé dvě roviny jsou různoběžné a průsečnice každých dvou rovin jsou taky rovnoběžné.
  • Každé dvě roviny jsou různoběžné a všechny průsečnice jsou různé a procházejí jediným společným bodem (průsečíkem) všech tří rovin.
Z těchto vztahů mezi rovinami lze vyvodit i důsledky, které se využívají hlavně při určování řezů těles rovinami. D1: „Leží-li dva různé body roviny řezu v rovině některé stěny, leží v rovině této stěny i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu. D2: „Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné.“ D3: „Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj. Stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají v jednou bodě.“ [8]