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Definition

Author:Walter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (März 2021)

 Die Aktivitäten zu den Kreisen auf 1- und 2-teiligen Darboux Cycliden benötigen extrem lange Ladezeiten! Leider kennen wir noch keine Parametrisierung dieser Flächen, daher sind viele implizite Kurven zur Darstellung und zur Berechnung der Kreise auf den Cycliden nötig.
Eine Darboux Cyclide ist eine Fläche, welche in Kartesischen Koordinaten implizit durch eine Gleichung des Typs beschrieben wird:
  • mit linearem und quadratischem und (in der Regel) reellen Koeffizienten.
Benannt sind diese Flächen nach dem französischen Mathematiker Gaston Darboux (1842 - 1917), der sich unter anderem mit der Differentialgeometrie von Flächen beschäftigt hat. Viel mehr findet sich im Internet zu diesen Bezügen nicht. Die Untersuchung dieser Flächen scheint lange geruht zu haben und ist erst in letzter Zeit auch im Zusammenhang mit der Suche nach 6-Eck-Netzen aus Kreisen (3-web of circles) wieder verstärkt Gegenstand von Artikeln. Die reell 12-dimensionale Klasse dieser Flächen ist invariant unter räumlichen Möbiustransformationen. Zu diesen Flächen gehören die Quadriken, die verschiedenen Tori, allgemeiner die Dupinschen Cycliden. Jede Darboux Cyclide gehört einer Schar von konfokalen Darboux Cycliden an: diese bilden ein System von orthogonalen Flächen. Nach dem Satz von Dupin schneiden sich diese konfokalen Flächen in den Krümmungslinien auf den einzelnen Flächen; diese bilden auf den Flächen also ebenfalls ein Geflecht von orthogonalen Kurven. Der Schnitt einer Darboux Cyclide und einer Kugel (sphere) oder einer Ebene liegt auf der Quadrik . Schnitte einer Kugel mit einer Quadrik sind C4(1)-Kurven, das sind Kurven 4.ter Ordnung 1. Art. Projiziert man solche Schnitt-Kurven stereographisch in die Gausssche Zahlenebene , so ergibt sich eine bizirkulare Quartik. Kurz: der Schnitt einer Darboux Cyclide mit einer Kugel oder Ebene ist eine bizirkulare Quartik.


Zur Klassifikation der Darboux Cycliden

Diese kurzgefaßte Aussage oben reduziert das Anliegen, sich über die 12-dimensionale Vielfalt der zu begutachtenden Cycliden eine Übersicht zu verschaffen, auf eine überschaubare Aufgabe. Allerdings ist dazu ein kurzer Ausflug in einen 4-dimensionalen Raum nötig:
  • Bizirkulare Quartiken entstehen als Schnitt der Möbiusquadrik (Riemannsche Zahlen-Kugel) mit irgendeiner anderen Quadrik.
  • Darboux Cycliden entstehen als Schnitt der Möbiusquadrik im Raum mit irgendeiner anderen räumlichen Quadrik im 4-dimensionalen Raum.
Für die Lösung der 1. Charakterisierungsaufgabe gibt es verschiedene Ansätze (siehe unten). Eine Strategie sucht Eigenwerte und Eigenräume zweier symmetrischen adjungierten Bilinearformen. Andere Ansätze kommen schneller zum Ziel! Geometrisch steht dahinter die einfache Frage nach Symmetrie-Kreisen einer bizirkularen Quartik: die Antwort lautet immer: mindestens einen Symmetrie-Kreis gibt es Immer! Für die Lösung der 2. Charakterisierungsaufgabe ist die Antwort fast identisch: Für Darboux Cycliden findet man stets mindestens eine Symmetrie-Kugel! (Für Experten der Linearen Algebra: zu finden ist mindestens ein reeller Eigenraum einer bezüglich einer symmetrischen Bilinearform des Typs (+,+,+,+,-) selbstadjungierten 2. symmetrischen Bilinearform. Da der zugrunde liegende reelle Vektorraum 5-dimensional ist, sollte es einen solchen reellen(!) Eigenraum geben! Hierzu gehört die Symmetrie-Kugel!) Nimmt man diese Symmetrie-Kugel als Gausssche Zahlenebene, so gilt es, die Schnittkurve zu untersuchen: diese Schnittkurve ist eine bizirkulare Quartik! Diese Kurven haben wir charakterisiert: womit als Darboux Cycliden nur noch folgende Fälle zu untersuchen sind:
  • 2-teilige Darboux Cycliden mit 5 paarweise orthogonalen Symmetrie-Kugeln (oder Ebenen)
  • 1-teilige Darboux Cycliden mit 3 Symmetrie-Kugeln (oder Ebenen)
  • Quadriken (natürlich ist hier die Vielfalt groß - aber es handelt sich um ein viel beackertes Terrain!)
  • Kugel-Büschel
Diese Fälle lassen sich weiter charakterisieren durch die Lage der zugehörigen Brennpunkte. In jedem der Fälle gibt es Sonderfälle mit Rotations-Symmetrieen: diese erhöhen die Anzahl der möglichen Kugel-Symmetrieen.

Kreise auf Darboux Cycliden

Eine Kugel, welche eine Darboux Cyclide doppelt-berührt (in 2 Punkten berührt), schneidet die Cyclide in 2 Kreisen oder berührt längs eines doppelt-zählenden Kreises. Die Schnittkurve besitzt wegen der doppelten-Berührung 2 Doppelpunkte, daher muß sie in 2 Kreise zerfallen. Diese Kreise können auch Punktkreise sein, jedoch führt die obige Aussage oft in vielen Fällen unschwer zu reellen Kreisen auf der Cyclide. Gibt es mehr als 2 verschiedene Scharen von Kreisen auf einer Darboux Cyclide, so bilden je drei solcher Scharen auf der Cyclide ein 6-Eck-Netz aus Kreisen. Andererseits scheint bewiesen zu sein, dass eine Fläche, auf welcher mehr als 2 verschiedene Scharen von Kreisen liegen, eine Darboux Cyclide ist. ( *) siehe die Literaturhinweise unten) Hieraus folgt, dass 6-Eck-Netze aus Kreisen auf räumlichen Flächen bestimmt sind - mit einer Ausnahme: Blaschkes Frage nach allen 6-Eck-Netzen aus Kreisen auf der Riemannschen Zahlenkugel bzw. in der Ebene ist wahrscheinlich weiter ungelöst! **) Wie findet man Kreise auf Darboux Cycliden? Die doppelt-berührenden Kreise einer bizirkularen Quartik sind leicht bestimmt. Zu jeder Symmetrie gehört eine Schar doppelt-berührender Kreise. Setzt man diese doppelt-berührenden Kreise für eine Schnitt-Quartik mit einer Symmetrie-Kugel oder -Ebene als Kugeln in den Raum fort, so erhält man doppelt-berührende Kugeln - und damit die Kreise auf der Cyclide. Allerdings muß man hierbei eine Eigenart des Rechnens mit komplexen Zahlen beachten: Auch wenn doppelt-berührende Kreise eine bizirkulare Quartik n i c h t reell berühren, können die zugehörigen Kugeln denoch die Cyclide in reellen Kreisen schneiden!
- - - - - - 2-teilige Darboux Cyclide (Ring-Torus-Form) - - - - - - - - - - - 1-teilige Darboux Cyclide


2-teilige Darboux Cyclide (2 Teile in Ei-Form, nicht rotationssymmetrisch) - - - - 1-teilige Darboux Cyclide
Literaturhinweise: Zu *): **) Blaschke, W. Bol, G. Geometrie der Gewebe Berlin 1938

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