4. Das Skalarprodukt
Skalarprodukt mit Vektorbeträgen und dem Winkel
In der Physik lernt man, dass Arbeit gleich Kraft mal Weg ist. Das gilt natürlich nur, wenn die Kraft in die gleiche Richtung wirkt, in der sich ein Gegenstand bewegen kann. Wenn ich versuche ein Auto seitlich zu verschieben, dann wird das nicht gehen. Aber wenn jemand in der Richtung schiebt, in der die Räder rollen können, dann kann Arbeit geleistet werden und das Auto setzt sich in Bewegung.
Ein weiteres Beispiel ist in der folgenden Gafik angedeutet:
Ein Traktor zieht einen Eisenbahnwagon auf seinen Schienen. Weil der Traktor nicht auf dem Gleisbett fahren kann, muss das Abschleppseil schräg verlaufen. Der Traktor zieht mit einer Kraft von . Der Eisenbahnwagon bewegt sich entlang dem Vektor um , also . Dabei hat das Abschleppseil einen Winkel von zu bzw. zu den Gleisen:
Da nur der Anteil der Kraft zur Bewegung des Wagons beiträgt, der parallel zu den Gleisen wirkt, ist es sinnvoll die Kraft in zwei Anteile zu zerlegen:
Oben ist der Kraftvektor als Summe der Vektoren und dargestellt. Das sind die Kraftanteile parallel () und senkrecht () zu den Schienen
Um die Arbeit zu berechnen, die an dem Eisenbahnwagon geleistet wird, berechnet man nun
Um die Kraft aus der Kraft zu berechnen, benötigt man die winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck: Daraus folgt für den gesuchten Kraftanteil:
Damit ist die Arbeit, die der Traktor am Eisenbahnwagon leistet: oder mit Zahlen:
Diese Methode zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren nennt man Skalarprodukt.
Ein Traktor zieht einen Eisenbahnwagon auf seinen Schienen. Weil der Traktor nicht auf dem Gleisbett fahren kann, muss das Abschleppseil schräg verlaufen. Der Traktor zieht mit einer Kraft von . Der Eisenbahnwagon bewegt sich entlang dem Vektor um , also . Dabei hat das Abschleppseil einen Winkel von zu bzw. zu den Gleisen:
Da nur der Anteil der Kraft zur Bewegung des Wagons beiträgt, der parallel zu den Gleisen wirkt, ist es sinnvoll die Kraft in zwei Anteile zu zerlegen:
Oben ist der Kraftvektor als Summe der Vektoren und dargestellt. Das sind die Kraftanteile parallel () und senkrecht () zu den Schienen
Um die Arbeit zu berechnen, die an dem Eisenbahnwagon geleistet wird, berechnet man nun
Um die Kraft aus der Kraft zu berechnen, benötigt man die winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck: Daraus folgt für den gesuchten Kraftanteil:
Damit ist die Arbeit, die der Traktor am Eisenbahnwagon leistet: oder mit Zahlen:
Diese Methode zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren nennt man Skalarprodukt.
Skalarprodukt - Teil 1
Gegeben sind die Beträge der beiden Vektoren und und der Winkel zwischen diesen Vektoren .
Dann ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren gegeben durch:
Das Besondere am Skalarprodukt ist, dass man hier zwei Vektoren miteinander multipliziert, und dass das Ergebnis eben kein Vektor ist, sondern nur ein Skalar, d.h. ein Wert oder eine Zahl.
Skalarprodukt mit Koordinaten
Hier ist nun die gleiche Situation wie oben, nur anders "mathematisiert", also anders mit Hilfe mathematischer Vokabeln beschrieben. Nun sind die Vektoren für die Kraft und für den Weg mit ihren Koordinaten abgegeben. Dafür gibt es hier keinen Winkel. Um das ganze etwas übersichtlicher zu gestalten, wird die Situation hier nach wie vor zweidimensional betrachtet. Am Ende nehmen wir dann eine Erweiterung auch in die dritte Raumdimension vor:
und
Berechnet werden soll hier wieder die Arbeit, die an dem Eisenbahnwagon geleistet wird. Physikalisch gesehen, kann man die Dimensionen getrennt betrachten: man berechnet die Arbeit in Richtung der -Achse, dann die in Richtung der -Achse und dann (falls vorhanden) die in Richtung der -Achse und schließlich addiert man die drei Beträge:
oder eben mit Arbeit ist Kraft mal Weg:
Die -Koordinaten sind hier nur in Klammern hinzugefügt, weil wir in unserem zweidimensional beschriebenen System ja keine -Koordinate haben.
Was man als Ergebnis erhält, ist wieder die Arbeit, die an dem Eisenbahnwagon geleistet wird. Also ist auch dies eine Möglichkeit, ein Skalarprodukt auszurechnen.
Auch diesen Rechenweg können wir nun verallgemeinern:
Berechnet werden soll hier wieder die Arbeit, die an dem Eisenbahnwagon geleistet wird. Physikalisch gesehen, kann man die Dimensionen getrennt betrachten: man berechnet die Arbeit in Richtung der -Achse, dann die in Richtung der -Achse und dann (falls vorhanden) die in Richtung der -Achse und schließlich addiert man die drei Beträge:
oder eben mit Arbeit ist Kraft mal Weg:
Die -Koordinaten sind hier nur in Klammern hinzugefügt, weil wir in unserem zweidimensional beschriebenen System ja keine -Koordinate haben.
Was man als Ergebnis erhält, ist wieder die Arbeit, die an dem Eisenbahnwagon geleistet wird. Also ist auch dies eine Möglichkeit, ein Skalarprodukt auszurechnen.
Auch diesen Rechenweg können wir nun verallgemeinern:
Skalarprodukt - Teil 2
Gegeben sind die beiden Vektoren und . Dann lässt sich das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren berechnen, mit
Schreibweise des Skalarproduktes
Da das Skalarprodukt keine einfache Multiplikation von zwei Zahlen ist, wird oft auch ein anderes Mal-Zeichen, ein andere Operator, dafür verwendet. In einigen Büchern findet man einen dickeren Punkt oder manchmal findet man auch ein Sternchen . Ein Kreuz, also dürfen Sie dafür aber nicht verwenden, weil es in der Vektorrechnung auch noch das sogenannte "Kreuzprodukt" gibt, das auf einer anderen Rechenregel basiert. Für das Kreuz- oder auch Vektorprodukt wird als Operator dann konsequenterweise auch das Kreuz verwendet.
Aber oft steht zwischen zwei Vektoren auch einfach das bekannte Malzeichen, wie es zwischen zwei Zahlen steht: . Wenn links und rechts vom Punkt ein Vektor steht, dann kann ja gar keine Multiplikation mit einer Zahl gemeint sein, dann muss also immer das Skalarprodukt angewendet werden.
Graphische Veranschaulichung des Skalarproduktes
In der Geogebra-App oben können Sie die Vektoren verändern (an Hand der Punkte an der Spitze). Beobachten Sie, wie sich das Skalarprodukt (die grüne Fläche) dabei verändert.
- Wann wird das Skalarprodukt negativ?
- Wann ist das Skalarprodukt gleich Null?
Die Orthogonalitätsbedingung
Durch ausprobieren mit der oben stehenden Geogebra-App oder durch anschauen der Gleichung
kann man erkennen, dass das Skalarprodukt immer dann genau gleich Null ist, wenn der Winkel zwischen den Vektoren und genau oder genau beträgt. Denn
Mit anderen Worten:
Immer dann, wenn zwischen den Vektoren und ein rechter Winkel ist, dann ist das Skalarprodukt gleich Null.Oder auch umgekehrt:
Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich Null ist, dann ist zwischen diesen Vektoren ein rechter Winkel.
Rechenübung - Berechne das Skalarprodukt
Berechnen des Skalarproduktes mit HP-Prime und Geogebra
In Computeralgebrasystemen (CAS) ist in der Regel ein Befehl für das Berechnen des Skalarproduktes vorgesehen.
- HP-Prime: Speichern Sie die Vektoren z.B. als und als ab. Dann lautet die Anweisung: dot(a,b)
- Geogebra: Speichern Sie die Vektoren z.B. als und als ab. Skalarprodukt(a, b)