Desafío 3. Introducción a la derivada
Introducción. ¿Qué es la derivada en un punto de una función?
Una de las formas de introducir el concepto de la derivada de una función es mediante la pendiente de la recta tangente a su gráfica en un punto. Este significado geométrico posteriormente dará pie a lo que posteriormente se estudiará como el criterio de la primera derivada.
En este caso, se parte de la idea de elegir un punto en el dominio de la función y definir otro sobre el eje que se encuentre a una distancia cercana llamada (donde puede ser positivo o negativo). Entonces si se ubican las imágenes de ambos puntos en la gráfica de la función, se puede observar que por ambos puntos pasa una recta que corta en esos puntos a la curva, por lo que recibe el nombre de secante.
Pero, ¿Qué pasa si esa distancia se hace cada vez más pequeña? Es decir, los puntos sobre el eje se hacen más cercanos. Eso es lo que descubriremos en este desafío.
Analizo desde el applet
A continuación se presenta un applet en el que se puede visualizar la gráfica de una función, se puede elegir un punto del dominio de la misma, establecer el valor de un pequeño incremento , observar una recta secante y finalmente observar el cálculo del límite de un cociente. Explórelo y con ayuda de éste responda las preguntas que aparecen debajo:
Respondo desde el applet
Elija un punto sobre el dominio de y elija un valor para con ayuda del deslizador. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta secante?
Ingresa otra función y elige un punto cualquiera en su dominio y un valor de de modo que la pendiente de la recta tangente sea positiva. Registra tus elecciones aquí:
Con esos mismos valores, ahora, mueve el deslizador hasta que el valor de sea lo más pequeño posible. ¿Cuál es el nuevo valor de la pendiente de la recta? ¿Qué tipo de recta es la que se observa?