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Combinaciones y variaciones. ¿Importa el orden?

Autor:Javier Cayetano Rodríguez

¿De cuántas formas pueden elegirse?

Si nos dicen que en clase vamos a dar regalos a 3 personas, podemos plantearnos ¿cuántas maneras diferentes hay para hacerlo? Pero para responder, nos faltaría información. Por ejemplo:

  • Si los regalos son similares, el orden en que elijamos a esas personas nos dará igual.
  • Pero si unos son mejores que otros... ¡el orden marcará una diferencia!
Así que en el segundo caso, habrá más posibilidades. Tantas como en el primer paso, multiplicadas por todas las reordenaciones posibles de esas tres personas que, como sabemos, son 3!=6 (esto podemos aprenderlo con la actividad Variaciones y permutaciones). Pero es que, además, podríamos hacernos otra pregunta, que también influye en el número de posibilidades:
  • ¿Podemos dar varios regalos a la misma persona?
  • Si es así, también habrá más opciones: tantas como cuando no se permite repetir, más los casos en los que alguien se lleva dos o incluso los tres regalos.
Así que, ya sabemos que una de las cosas que necesitamos para resolver la pregunta es dejar claro si el orden es importante y si se puede repetir. Aún así, parece que hay tantas opciones posibles que no sabemos bien cómo contarlas. Pero como ya sabemos, las matemáticas nos pueden echar una mano en estas cosas. Hay toda una rama de las matemáticas dedicada a contar posibilidades. Se denomina combinatoria. Más abajo, en la actividad "contando pegatinas", veremos cómo hacer estos recuentos y una forma de escribir todas las soluciones (hallar el espacio muestral) que nos será útil, al menos cuando no haya demasiadas posibilidades.
  • Cuando el orden importa, decimos que estamos contando las variaciones posibles. En este caso, si hay 20 personas en clase, diríamos número de variaciones posibles de 20 personas al elegir 3 de ellas.
  • Cuando el orden no importa, que estamos contando las combinaciones. En este caso, si hay 20 personas en clase, número de combinaciones posibles de 20 personas al elegir 3 de ellas.
Nuestro turno: Vamos a pensar en otras situaciones en que tengamos que tengamos que elegir entre varias cosas, buscando en total 4 situaciones:
  1. Un par de situaciones en las que el orden tendrá importancia en nuestra decisión. Indicaremos el motivo por el que influye (esto dependerá de qué vamos a anotar exactamente el recoger el dato).
    • En una de ellas se podrá repetir la elección.
    • En la otra no se podrá.
  2. Un par de situaciones en las que el orden no será importante en nuestra elección. Indicaremos el motivo por el que esto no es así.
    • En una de ellas se podrá repetir la elección.
    • En la otra no se podrá.
Según corresponda, debemos indicar si son variaciones o combinaciones, con o sin repetición, y cuántos elementos tomamos. Como ejemplo de situaciones, podríamos preguntar a nuestra amiga por los tres colores que más le gustan, el sabor de los dos últimos helados que se ha tomado, de qué asignatura han sido los últimos exámenes...

Representando las posibilidades

Ya sabemos, por actividades como "variaciones y permutaciones" que, en casi cualquier situación es fácil que haya muchas posibilidades, por lo que es frecuente que cuando necesitamos considerarlas todas, utilicemos ordenadores para trabajar con ellas. Pero podemos llevar en mente cuál podría ser alguna forma de generarlas. Un procedimiento habitual son los diagramas en árbol, descomponiendo nuestra situación en los pasos: "elegir el primero", "elegir el segundo"... Nosotros, para practicar el cómo se hallan esas opciones diferentes, utilizaremos la actividad "contando pegatinas. Combinaciones y variaciones", que nos presentará situaciones en las que el número de casos posibles es manejable y podemos representarlo con un árbol. Es muy interesante el ver cómo resultan las posibles configuraciones finales. Fíjate en que el hecho de que haya muchas o pocas pegatinas repetidas no influye mucho en las posibilidades. Podría influir si hay que irlas retirando pero... en un momento dado se nos acaban. Sin embargo, sí influirá si vamos a elegirlas al azar (y lo haremos en otras actividades). Indica aquí cómo crees que eso influye.

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Contando pegatinas. Combinaciones y variaciones

Instrucciones

  • Comenzaremos viendo varios ejemplos y cómo se hace el correspondiente diagrama en árbol (aunque, como verás en las indicaciones de la solución no sean necesarios para saber el número de posibilidades), marcando la casilla "ver solución" y después "ver árbol".
  • Cuando lo tengamos claro, crearemos nosotros el diagrama de árbol antes de mostrar la solución, para casos en los que no haya demasiadas posibilidades. Por ejemplo, menos de 20.
  • Después, tan solo nos aseguraremos "mentalmente" de que sabríamos hacer los diagramas y calcularemos la solución sin necesidad de dibujarlos.
  • En las indicaciones de las soluciones, se incluyen también los símbolos matemáticos que se usan para hacer estos cálculos directamente: V, VR, P, C y números factoriales. Más abajo, en el apartado "combinaciones, variaciones y permutaciones" se explica cómo usarlos.
  • Por último, resolveremos los ejercicios que nos proponen al pulsar el botón "Ejercicios".
    • Cada ejercicio correcto vale 1 punto, pero cada fallo también penaliza 1 punto.
    • Recuerda que debes practicar con los ejercicios una vez ya hayas aprendido las fórmulas (practicando antes con los ejemplos) y puedas hacer los cálculos usándolas, sin tener por qué recurrir a dibujar el diagrama en árbol.
    • Se conservará la información de la máxima puntuación alcanzada.
    • La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
¿Necesitamos saber cuántos hay de cada dibujo o en total?
  • A veces es difícil contar cosas que se mueven o están descolocadas.
  • Por eso, tenemos el botón "Organiza", que preparará los dibujos para que los contemos bien ¡ojalá mi habitación se ordenase así de fácil! Usar el botón no penaliza en las calificaciones.
  • También podemos parar/reactivar el movimiento, con la casilla "Movimiento".

Combinaciones, variaciones y permutaciones

Con la actividad "Variaciones y permutaciones. El orden importa" aprendimos qué es el factorial de un número y a usarlo para calcular variaciones con repetición (VR) y sin repetición (V), y su relación con las permutaciones. Además, vimos que la calculadora tiene las teclas nPr y ! para facilitar esos cálculos.
  • Recordemos que n! se lee "factorial de n" y consiste en multiplicar todos los números desde n hasta 1.
  • Las variaciones de n elementos, tomados de r en r, a veces también se denominan permutaciones de n elementos, tomados de r en r y se calculan mediante .
  • Esto se debe a que las fórmulas son similares, pero en vez de ir multiplicando hasta llegar a 1, paramos en el número anterior a r. Por ejemplo, .
Veamos cómo, a partir de este conocimiento, podemos ya reflexionar y calcular en número de combinaciones (o sea, cuando el orden no es importante) directamente con una fórmula, sin necesidad de dibujar todo el árbol y contar los elementos del resultado. Combinaciones sin repetición En la introducción de esta actividad ya habíamos indicado la relación entre variaciones (el orden importa) y combinaciones (el orden no importa).
  • Si estamos eligiendo, por ejemplo, 3 elementos, por cada combinación podemos generar 3!=3·2·1=6 variaciones.
  • Como en las variaciones es importante, nos basta con ir recolocando esos 3 elementos de las 3!=6 formas posibles.
  • De forma análoga, si fuesen 4 elementos, habría 4!=4·3·2·1=24 variaciones más, etc.
  • En general, por cada combinación de n elementos eligiendo r, , tenemos variaciones.
  • Así que es fácil calcular que , y también . Este último número se conoce como "número combinatorio" .
Combinaciones con repetición La diferencia con el caso anterior es que podemos seleccionar los elementos varias veces. Por ejemplo, en el caso de los regalos, podríamos dar varios regalos a la misma persona. Está claro que saldrán más casos que las combinaciones sin repetición, pero ¿cómo contarlos? Una forma cómoda es imaginarnos que estamos seleccionando avatares para varios personajes en nuestro videojuego favorito. Para ello, podemos pulsar el botón de aceptar y elegir el avatar de la pantalla, o el botón de "siguiente avatar". Por ejemplo,
  • si hubiese que elegir avatares para 3 personajes de entre 7 disponibles, estamos ante un caso de combinaciones con repetición de 7 elementos, cuando tomamos 3: .
  • Podemos pensar que cualquiera de las posibilidades se obtiene pulsando, en algún momento, 3 veces "aceptar" y hasta 6 cambios de avatar (para poder pasar por todos).
  • Aunque una vez elegido el tercer avatar ya no es necesario seguir recorriendo la lista de avatares hasta el último, podemos pensar que sí lo haremos, porque así tendremos un total de 3+6=9 pulsaciones, de las cuales 3 van a ser "aceptar", y las otras 6, pasar al siguiente.
  • Entonces, podemos pensar que vamos a pulsar en nuestro mando un total de 9 veces y hay que elegir las 3 veces que será "aceptar". Así que pueden verse como combinaciones de 9 elementos, tomando 3 de ellos: .
Este razonamiento lo hemos hecho con este ejemplo, pero podemos hacerlo en cualquier otro caso. Así que . En las soluciones a los ejercicios que ofrece el applet, veremos que se incluye un razonamiento similar, aparte del recuento usando un diagrama en árbol para representar todas las posibilidades (el espacio muestral). Ampliación: Cálculo a través de permutaciones con repetición. Otra forma de razonar estos cálculos es a partir de las permutaciones con repetición. A modo de ampliación, podemos ver las explicaciones correspondientes en el propio applet, eligiendo "permutaciones con repetición" en el desplegable de la derecha. Tras la sección "nuestro turno", hemos incluido una sección "Ampliación. Permutaciones con repetición" para dar una breve explicación de qué son, aunque también podremos trabajar con ellas con la actividad "Contamos permutaciones, combinaciones y variaciones".

Nuestro turno

Una vez que hemos aprendido nuestras técnicas de combinatoria, es el momento de crear nuestras propias situaciones y decidir cuántas posibilidades hay. No tiene por qué referirse a "pegatinas", como en el applet, sino cualquier otra situación. Por ejemplo, similares a las que planteamos al principio de la actividad. Indicaremos aquí o en nuestra libreta los ejemplos que hemos propuesto y el número de posibilidades. También, como ya sabemos predecir lo que va a ocurrir, nos aseguraremos de que alguna de las situaciones no tenga demasiados casos, para que podamos representarla con un diagrama en árbol (20 posibilidades o menos). Al menos propondremos un caso de cada tipo (en total serán 4):
  • Combinaciones sin repetición.
  • Combinaciones con repetición.
  • Variaciones con repetición.
  • Variaciones sin repetición.
En el árbol, usaremos abreviaturas para redactarlo más rápido. Por ejemplo "F" en lugar de "Fútbol" y "B" en lugar de "Baloncesto". Al igual que en el applet, incluiremos junto al árbol cuál es el espacio muestral de este experimento aleatorio, junto con el recuento de casos. Dejaremos el caso genérico de las permutaciones con repetición para otras actividades. Aquí nos centraremos únicamente en las combinaciones y las variaciones. ---------- Por último, anotaremos en el porfolio de clase o aquí lo que hemos aprendido y si nos parecen útiles estas formas de enumerar usando combinatoria. ¿Sabías que, internamente, los ordenadores usan diagramas en árbol gigantescos y cálculos combinatorios para tomar decisiones como al jugar al ajedrez, aplicar IA, etc.? Es la forma que tienen de ir representando "qué puede ocurrir" y poder analizar qué hacer en las opciones posibles. No te olvides de escribir si esta actividad te ha resultado divertida y curiosa.
  • ¿Crees que te ha ayudado a aprender a usar las matemáticas?
  • ¿Te parece interesante la combinatoria?
  • ¿alguna vez te habías parado a pensar que el simple hecho de contar pudiese ser tan complejo que necesitase una rama específica de las matemáticas para ello?
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Ampliación. Permutaciones con repetición

Hasta ahora, hemos analizado las combinaciones y las variaciones cuando permitimos que haya elementos repetidos. Curiosamente, estas pueden calcularse a partir de una generalización de las permutaciones: Como sabemos, las permutaciones de n elementos diferentes son las posibles disposiciones en las que podemos situarlos y su número se calcula mediante el factorial: n! Por ejemplo, las permutaciones de los tres elementos 1,2,3 son 3!=3·2·1=6 y, concretamente, el espacio muestral sería: 1, 2, 3 1, 3, 2 2, 1, 3 2, 3, 1 3, 1, 2 3, 2, 1. Pero podría ocurrir que varios elementos de los que vamos a recolocar fuesen iguales entre sí. Por ejemplo,
¿de cuántas maneras podemos recolocar los 5 elementos AAABC?
Diremos que son permutaciones con repetición de 5 elementos, donde hay un grupo de 3 letras A, otro de una letra B y otro de una letra C: . Podríamos pensar que de 5!=120 maneras, pero resulta que el hecho de intercambiar las posiciones de esas 3 letras A que hay repetidas hace que el resultado siga siendo el mismo, precisamente porque esas letras son iguales y no se nota si las intercambiamos.
  • Como 3 letras pueden recolocarse de 3!=6 maneras, resulta que con esas 5!=120 maneras que habíamos pensado, realmente estamos contando 3!=6 veces más de las que hay.
  • La solución es sencilla: basta con dividir entre 6 y ya tendremos el número total.
  • Así que posibilidades. Son bastantes, pero ¡muchas menos de lo que creíamos!
Cuando haya varios grupos de elementos repetidos, actuaríamos igual, dividiendo entre los factoriales del número de elementos de cada grupo. Por ejemplo, para recolocar los 6 elementos de AABBBC, tenemos . Aquí no hemos incluido el factorial de 1 en el denominador, porque 1!=1 pero podríamos hacerlo si queremos expresar la fórmula incluyendo siempre el factorial de los superíndices. . Claramente podemos generalizar este razonamiento para cualquier permutación con repetición que queramos calcular. Y sí, es habitual que salgan números muy grandes, incluso ¡gigantescos! Por eso no solemos dibujar los árboles correspondientes o escribir todo el espacio muestral y es conveniente que con ejercicios como los que hemos realizado aquí nos ayuden a usarlos "mentalmente", sin necesidad de llegar a escribirlos. Podemos ver más ejemplos de este tipo de permutaciones en el applet de esta actividad "Contando pegatinas. Combinaciones y variaciones", eligiendo "permutaciones con repetición" en el desplegable de la derecha y pulsando en el botón "Otro" para ir generando ejemplos y ver sus soluciones. Además, podemos también elegir ver cómo calcular variaciones y combinaciones interpretándolas como permutaciones con repetición.

Referencia de las imágenes

Fuentes de las imágenes (licencias CC BY SA y openclipart):

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