Kreuzprodukt: Von der Paramtergleichung zur Normalengleichung
Zwei Darstellungsformen
Nun stehen zwe Möglichkeiten eine Ebene vektoriell darzustellen nebeneinander: Die Parameterform und die Normalenform.
Dazu kommt die Möglichekeit der Darstellung durch eine Gleichung: Die Ebenengleichung, die eng mit dem Normalenvektor zuammenhängt.
Damit stellt sich sofort die Frage des Übergangs von einer zur anderen Darstellungsform.
Der Zusammenhang
a) Wie hängt der Normalenvektor einer Ebene mit den Spanvektoren dieser Ebene zusammen? b) Wie läßt sich die rechnerisch darstellen?
Ein neues Produkt zwischen Vektoren
Die oben dargestellte Rechnung erweist sich als äußerst mühsam. Um das Leben bei der Suche nach ein Vektor der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht, einfacher zu machen, hat man auf der Grundlage der oben formulierten Bedingung eine neue Verknüpfung zwischen Vektoren konstruiert.
Erinnerung Skalarprodukt
a) Betrachten Sie nun das Skalarprodukt als Zuordnung. Was macht ein Skalarprodukt - welche Art von Zuordnung liegt vor? b) Wenn im neu festzulegenden Produkt ein Vektor erzeugt werden soll - welche Art von Zuordnung liegt nun vor?
Das Kreuzprodukt
Aus den oben festgelegten Bedingungen läßt sich ein neues Produkt konstruieren, das zwei Vektoren einen neuen Vektor zuordnet, der den beiden Ausangsvektoren jeweils orthogonal (senkrecht) ist. Diese Art Produkt nennt man Kreuzprodukt oder auch Vektorprodukt.
Algebraisch ist es definiert durch:
- Man schreibt die erste Komponente der beiden Vektoren dünn je unterhalb der Spaltenvektoren nochmals hin.
- Man erhält eine Komponente des neuen Vektors indem man die die anderen beiden Komponenten miteinander verknüpft: die erste Komponente entsteht aus der Differenz der Produkte der Komponenten 2 und drei, die zweite aus der Differenz der Produkte der Komponenten 1 und 3 etc...
- Die Vorzeichen merkt man sich grafisch: Positiv von links oben nach rechts unten und negativ von links unten nach rechts oben.
Rechenübungen
Die ganze Geschichte wirkt auf den ersten Blick sehr mühsam, geht aber durch die grafische Veranschaulichung mit den Pfeilen mit ein klein wenig Übung sehr einfach.
Im Applet unten können Sie die Vektoren beliebig verschieben und dann von Hand das Kreuzprodukt bilden. Kontrolle via Chackbox!
Kreuzprodukt und Kommutativgesetz
Ist das Kreuzprodukt kommutativ?