Conectar celdillas con el sólido de Kelvin
Hemos resuelto el problema de las celdillas del panal: hemos encontrado la explicación de los prismas hexagonales y el poliedro que une el interior de las celdillas, nos surge la duda de si será realmente la mejor solución o podríamos encontrar algún otro más eficiente, es decir, que utilice menos cera para almacenar más miel.
Ya en el siglo XIX se habían identificado celdillas con la presencia de cuatro planos en la parte inferior de la celdilla con dos cuadriláteros simétricos y dos hexágonos también simétricos en lugar de los tres planos del dodecaedro rómbico. Esto hizo que algunos matemáticos dirigieran su mirada hacia el sólido de Kelvin, el octaedro truncado al que se realizan secciones con planos perpendiculares a las diagonales espaciales y el corte se da a 1/3 de la arista. El resultado es un poliedro arquimediano formado por seis cuadrados (donde estaban los vértices del octaedro) y ocho hexágonos regulares (una por cada cara triangular del octaedro).
Construcción.
Partimos de los vértices de un triángulo equilátero para construir, a partir de ellos, un octaedro regular. Podríamos realizar seis secciones con planos perpendiculares a las diagonales espaciales pero se ha simplificado el proceso con dos cortes a 1/3 y 2/3 de un vértices y se ha continuado con movimientos (rotaciones y simetrías) para obtener el resto de vértices.
En cada una de las ocho caras obtenemos un hexágono regular y en las secciones en los vértices aparecen seis cuadrados
El sólido de Kelvin rellena el espacio
La segunda parte de la animación se dedica a colocar nuevos sólidos de Kelvin a partir de traslaciones del primero que hemos construido
Los vectores de traslación utilizados unen vértices del sólido de Kelvin original. ¿Puedes explicar cómo lo hacen?
¿Las abejas lo podrían haber utilizado?
Para que las abejas construyan sus celdillas a partir del sólido de Kelvin necesitaremos encontrar una sección plana que dé lugar a un hexágono regular para que a partir de ella la abeja pueda continuar con el prisma que es producto de círculos que se comprimen con las vecinas. La hemos encontrado tomando un plano que pase por los puntos medios de los lados seis hexágonos regulares de la siguiente forma:
Utilizamos las traslaciones con vectores que unen vértices alternos del hexágono y podemos completar el conjunto de prismas de una de las dos caras del panal. El problema es que las mitades de los sólidos de Kelvin que hace de inicio de la celdilla no pueda encajar con los que vienen en sentido contrario
Un problema análogo al de las abejas consiste en encontrar un poliedro que rellene el espacio con cuerpos de igual volumen que minimicen la superficie. Como hemos visto, esto se puede hacer con cubos y con dodecaedros rómbicos. Cuando se planteó el problema Kelvin propuso su octaedro truncado que mejoraba resultados anteriores, pero no estaba en lo cierto, como señalan Hilldebrant y Tromba (1990), en 1994 Weaire y Phelan encontraron una configuración con menor área superficial. Actualmente es un problema que sigue abierto.
Esta actividad pertenece al libro La geometría del panal de José Antonio Mora.