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Baricentro

Author:Geogebra em Sala de Aula, Daniel Brito
Topic:Geometry
Na figura, G é o baricentro do triângulo ABC. As áreas x, y e z representam as áreas de três triângulos menores:
  • Triângulo APN: Este triângulo tem base AP e altura PN. A base AP é metade da base AB do triângulo ABC, pois P é o ponto médio da mediana AM. A altura PN é a mesma que a altura do triângulo ABC, pois ambos os triângulos compartilham a mesma base AB e a altura é medida perpendicularmente à base. Portanto, a área do triângulo APN é um quarto da área do triângulo ABC.
  • Triângulo CPM: Este triângulo tem base CP e altura PM. A base CP é metade da base BC do triângulo ABC, pois P é o ponto médio da mediana BM. A altura PM é a mesma que a altura do triângulo ABC, pois ambos os triângulos compartilham a mesma base BC e a altura é medida perpendicularmente à base. Portanto, a área do triângulo CPM é um quarto da área do triângulo ABC.
  • Triângulo BMG: Este triângulo tem base BM e altura MG. A base BM é metade da base BC do triângulo ABC, pois M é o ponto médio da mediana BM. A altura MG é a mesma que a altura do triângulo ABC, pois ambos os triângulos compartilham a mesma base BC e a altura é medida perpendicularmente à base. Portanto, a área do triângulo BMG é um quarto da área do triângulo ABC.
Conclusão: Com base nas considerações acima, podemos concluir que as áreas x, y e z são todas iguais a um quarto da área do triângulo ABC. Em outras palavras, cada um dos três triângulos menores representa um quarto da área total do triângulo ABC. Demonstração matemática: Podemos demonstrar matematicamente a relação entre as áreas x, y e z da seguinte forma: Seja A a área do triângulo ABC, então:
  • A área do triângulo APN = A/4
  • A área do triângulo CPM = A/4
  • A área do triângulo BMG = A/4
Somando as áreas dos três triângulos menores, obtemos: A/4 + A/4 + A/4 = A Simplificando, obtemos: 3A/4 = A Dividindo ambos os lados por 3, obtemos: A/4 = A/3 Portanto, as áreas x, y e z são todas iguais a um terço da área do triângulo ABC. Observação: É importante notar que a relação entre as áreas x, y e z não depende da localização do baricentro G. O baricentro é sempre o ponto que divide as medianas do triângulo em duas partes com a mesma razão de 2:1. Portanto, a relação entre as áreas dos triângulos menores sempre será a mesma, independentemente da posição de G.

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