2.4 Funciones algebraicas: polinomiales y racionales.
Las funciones pueden clasificarse, de acuerdo con su origen, en dos grandes grupos: Algebraicas y trascendentes. Algebraicas. Son aquellas cuya regla corresponde a una expresión algebraica. Se subdividen a su vez en: -Polinomiales. -Racionales. -Irracionales. Funciones polinomiales.Están formadas por polinomios, donde el grado del polinomio lo determina el mayor exponente de la variable. Dicho exponente debe ser entero y positivo. Algunas funciones de este tipo son: Funciones constantes: Por lo regular las funciones indican el cambio de una variable respecto de otra; pero ¿qué pasa cuando no hay una variable?, ¿qué sucede si no hay cambio? Por ejemplo, la temperatura del día se mantuvo constante en 26 °C; la presión de la llanta del automóvil permanece a 30 Ib; ¿cómo se interpreta esto?, ¿cuál sería su gráfica? Para esto se diseñó el siguiente modelo matemático. La función constante es una línea horizontal a la altura del valor de la constante.
Función identidad:
Es aquella cuya gráfica es una línea recta a 45°. La fórmula es f(x)=x. Los valores del dominio son idénticos a los del rango.Funciones lineales
Tanto la función lineal como la función identidad implican cambios proporcionales de una variable respecto de otra. Por ejemplo, en la función identidad, a medida que los valores de x cambian también cambian los valores de y. En la función lineal sucede lo mismo; sin embargo, el cambio depende tanto de su valor inicial como de la pendiente (coeficiente que acompañe a la x).
Ejemplo: suponga que un automóvil parte desde el reposo, y debido a su velocidad su posición cambia del siguiente modo, con respecto a un punto de referencia.
Tiempo (x) | Posicion (y) |
0 | 45 |
1 | 60 |
2 | 75 |
3 | 90 |
4 | 105 |
5 | 120 |
Observa que a cada unidad de tiempo le corresponden 15 unidades de posición (que es la proporción 1 a 15), y que su origen es la posición 45; con estos datos podemos deducir la fórmula general del movimiento del automóvil para cualquier tiempo determinado.
La función lineal es de la forma y= mx + b donde su dominio y rango son todos los números reales; es decir, no tiene restricción alguna. Para grafícala sólo se necesitan dos puntos.
Ya que su gráfica es una línea recta, podemos asignar dos valores diferentes a x y y para obtener dos puntos que se unan mediante una línea recta. El otro caso es intersecar la recta con los ejes.
Funciones cuadráticas.
Las funciones cuadráticas pueden representan el movimiento de objetos como el tiro parabólico de un proyectil. En otras palabras, el movimiento generado por una bala, el lanzamiento de un cohete, el tiro de una pelota de fútbol, y en general, de cualquier pelota y de cualquier objeto que sea lanzado. Todo objeto que es lanzado sigue una trayectoria parabólica debido a los efectos de la gravedad.
La función cuadrática es aquella de la forma f(x)=ax2+bx+c y su dominio son todos los números reales; es decir, no tiene restricción alguna. Su gráfica es una parábola si a > 0 entonces la parábola es cóncava hacia arriba. Si a < 0 la parábola es cóncava hacia abajo. Su rango está determinado por el máximo o el mínimo de la función, el cual se puede obtener a partir del vértice. Si el coeficiente del término cuadrático es una fracción, la parábola estará más abierta; sucederá lo contrario si su coeficiente es más grande.
Funciones cúbicas
La función cúbica es un polinomio en el que la variable tiene un exponente de grado tres y puede estar dada por la forma f(x) = ax3+bx2+cx+d0. Al igual que la función cuadrática, su dominio son todos los números reales ya que no tiene restricciones como divisiones o raíces; su rango también está dado por todos los números reales. La forma de la gráfica varía dependiendo del signo de la variable cúbica y del resto de sus términos, si sólo existe la variable de grado tres puede tener dos formas: