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Wachstums- und Zerfallsvorgänge

作成者:Klaus Schoepe
Im wesentlichen unterscheidet man 4 Arten für Wachstums- und Zerfallsvorgänge:
  • lineares Wachstum oder linearen Zerfall
  • exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall
  • beschränktes Wachstum oder beschränkten Zerfall
  • logistisches Wachstum
Eine logistische Zerfallskurve ist vielleicht auch denkbar, dafür gibt es aber kaum Beispiele aus dem Leben. Im Folgenden werden die Funktionsgleichungen der Wachstumsarten vorgestellt. Dabei werden folgende Bezeichnungen für die Parameter verwendet:
Der Startwert. Es gilt 
Dieser Parameter steht für die Geschwindigkeit des Vorgangs. 
Dies ist eine obere oder untere Grenze eines Wachstums- oder Zerfallsvorgangs, die niemals über- oder unterschritten wird.

Lineare Wachstums- oder Zerfallsvorgänge

Beispiele:
  • Ein Haar wächst jede Woche .
  • Eine brennende Kerze wird jede Stunde kürzer.
oder Funktionsgleichung: Lineares Wachstum linearer Zerfall Differentialgleichung: In Worten die Änderungsrate ist eine konstante Zahl.

Exponentielle Wachstums- und Zerfallsvorgänge

Beispiele:
  • Die Anzahl Bakterien verdoppelt sich jede Stunde (nimmt also jede Stunde um zu)
  • SIchtweite: Eine Lampe wird von einem Beobachter entfernt. Die Helligkeit verringert sich alle um
oder Exponentielle Wachstums- oder Zerfallsvorgänge sind imme dann vorhanden, wenn sich der Bestand prozentual ändert. Funktionsgleichung: oder Exponentielles Wachstum oder Exponentieller Zerfall nennt sich Wachstumskonstante nennt sich Wachstumsfaktor Differentialgleichung: In Worten: Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand.

Beschränkte Wachstums- oder Zerfallsvorgänge

Beispiele:
  • Ein heißes Getränk kühlt sich ab. Die Temperaturdifferenz zur Raumtemperatur sinkt alle 2 Minuten um
  • Ein kaltes Getränk aus dem Kühlschrank wird wärmer sich ab. Die Temperaturdifferenz zur Raumtemperatur sinkt alle 2 Minuten um
oder Funktionsgleichung: Hier ist immer eine positive Zahl beschränktes Wachstum beschränkter Zerfall Differentialgleichung: In Worten: die Änderungsrate ist proportional zur Differenz aus einer Grenze und dem Bestand.

Logistisches Wachstum

Beispiel:
  • Fische vermehren sich in einem kleinen Teich. Zuerst wächst die Anzahl schnell (wie in einem großen See) dann bleibt die Anzahl konstant, weil für mehr Fische nicht genug Nahrung vorhanden ist.
Funktionsgleichung: Differentialgleichung:

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