Cirkelspiegeling en cirkelinversie
Inleiding
In dit werkblad ga ik op zoek naar de definitie en bepaalde eigenschappen van de cirkelspiegeling en cirkelinversie.
Definitie van de cirkelspiegeling
Definitie: A' is het beeld van A door de cirkelspiegeling C over de cirkel c met straal r als en slechts als de afstand tussen AS gelijk is aan de afstand A'S. S is het snijpunt van de halfrechte MA met de cirkel c.
Het punt A is als het ware gespiegeld volgens de puntspiegeling met S.
Beeld van een rechte
Het beeld van een rechte door de cirkelspiegeling volgens de cirkel c met straal r is een kromme. Die kromme is de meetkundige plaats van alle punten C die ontstaan door de cirkelspiegeling van A met de cirkel c. A blijft op de rechte a liggen.
Wanneer de afstand van de rechte a tot de cirkel kleiner is dan de straal van de cirkel, dan heeft de kromme een lus die door M van de cirkel gaat. als diezelfde afstand groter is dan de straal van de cirkel, dan verdwijnt de lus en hebben we te maken met een 'bult' in de kromme.
als de straal van de cirkel 0 nadert, vermindert de kromming van het beeld van de rechte. wanneer de straal gelijk is aan 0 krijgen we een situatie die eigenlijk een puntspiegeling is van de rechte waarbij het beeld dus opnieuw een rechte is.
Beeld van twee evenwijdige rechten
Bij de beelden van twee evenwijdige rechten gebeurt hetzelfde als bij het beeld van een rechte. de kromming van het beeld van de rechte het verst van de cirkel is kleiner dan die van de rechte het dichtst bij de cirkel. Ik merk ook op dat de beelden van de twee evenwijdige rechten a en b naar het oneindige toe evenwijdig zijn.
Wanneer de straal van de cirkel 0 nadert, vermindert de kromming van de beelden. als de straal 0 is dan krijgen we een situatie waarbij de cirkelspiegeling een puntspiegeling wordt, het gevolg is dat de beelden twee evenwijdige rechten zijn.
Beeld van twee loodrecht snijdende rechten
Bij de beelden van twee loodrecht snijdende rechten gebeurt hetzelfde als bij het beeld van een rechte. de kromming van het beeld van de rechte het verst van de cirkel is kleiner dan die van de rechte het dichtst bij de cirkel. Ik merk ook op dat de beelden van de twee evenwijdige rechten a en b naar het oneindige toe loodrecht zijn.
Wanneer de straal van de cirkel 0 nadert, vermindert de kromming van de beelden. als de straal 0 is dan krijgen we een situatie waarbij de cirkelspiegeling een puntspiegeling wordt, het gevolg is dat de beelden twee loodrecht snijdende rechten zijn.
Beeld van een cirkel
Het beeld van de cirkel c1 door de cirkelspiegeling volgens de cirkel c2 met straal r is een dubbele lus. Die dubbele lus is de meetkundige plaats van alle punten A' die ontstaan door de cirkelspiegeling van A met de cirkel c. A blijft op de cirkel c1 liggen. de lus gaat door het middelpunt M van c2 als de kleinste afstand tussen de twee cirkels kleiner is dan de straal van c2. als de kleinste afstand tussen de twee cirkels groter is dan de straal, verkrijgen we een enkele lus die niet door het middelpunt M gaat van c2.
Wanneer de straal van de cirkel c2 0 nadert, word de ene kant van de dubbele lus kleiner en de andere kant groter tot we een enkele lus verkrijgen. als de straal 0 is dan krijgen we een situatie waarbij de cirkelspiegeling een puntspiegeling wordt, het gevolg is dat het beeld van de cirkel c1 opnieuw een cirkel die identiek is aan c1.
Beeld van twee concentrische cirkels
We krijgen opnieuw dezelfde eigenschappen als bij het beeld van 1 cirkel. En opnieuw als de straal van c3 gelijk is aan 0, dan verkrijgen we een puntspiegeling waarbij de beelden twee concentrische cirkels zijn identiek aan de twee oorspronkelijke cirkels.
Definite van de cirkelinversie
definitie: A' is het beeld van a door de cirkelinversie van het punt over de cirkel c met middelpunt M en straal r <=> ΙMA'Ι.ΙMAΙ = r²