Differenzenquotient
Neuer Begriff für einen alten Hut
Der Differenzenquotient ist eigentlich nichts anderes als der Term, mit dem wir schon im letzten Kapitel die Steigung berechnet haben: Aber es gibt verschiedene Schreibweisen dafür, die später wichtig werden, und außerdem noch ein paar Begriffe bzw. Sichtweisen, die immer wieder vorkommen. Deshalb nehmen wir das hier nochmal ausführlich unter die Lupe.
In dem folgenden Schaubild siehst du einen Funktionsgraphen und eine Sekante durch zwei Punkte des Graphen (A und B). Eine Sekante ist eine Gerade, die eine gekrümmte Linie in zwei Punkten schneidet. Im Gegensatz dazu gibt es noch die Tangente, die den Graphen nur in einem Punkt berührt. Die Tangente im Punkt A kannst du dir auch mit dem entsprechenden Kontrollkästchen anzeigen lassen.
Unser Ziel ist es nun, die Steigung des Graphen im Punkt A zu bestimmen.
1. Bedeutung von Tangente und Sekante
Schau dir die Tangente nochmal genau an. Sie hat genau die selbe Richtung wie der Graph der Funktion im Punkt A. Deshalb sagen wir:
Die gesuchte Steigung des Graphen im Punkt A ist die Steigung der Tangente durch diesen Punkt.
Da wir aber über Tangenten noch gar nichts wissen (In welche Richtung verlaufen sie denn eigentlich genau?) halten wir uns erst mal an die Sekante durch A und B. Die kann man als eine Näherung für die Tangente betrachten: Je näher wir mit dem Punkt B zum Punkt A gehen, desto mehr nähert sich die blaue Sekante der gestrichelten schwarzen Tangente an. Probier es aus, indem du den Punkt B verschiebst.
2. Steigung der Sekante berechnen
Berechnen wir also zunächst mal die Steigung der Sekante:
Eine Sekante ist eine ganz normale Gerade, d.h. wir können einfach ein Steigungsdreieck anlegen und rechnen, wie gewohnt. Da die beiden Punkte A und B das einzige sind, was wir von der Sekante wirklich kennen, zeichnen wir genau dort das Steigungsdreieck ein.
Aktiviere das Kontrollkästchen Steigungsdreieck anzeigen!Jetzt brauchen wir "Breite" und "Höhe" des Steigungsdreiecks:
Aktiviere die beiden Kontrollkästchen Funktionswerte anzeigen und Deltas anzeigen!
Und wenn man nun den "Höhenunterschied" y durch die "Breite" x dividiert, hat man die Steigung.
Meist schreibt man aber nicht sondern so: . Oben steht immernoch der Unterschied der y-Werte, unten die x-Differenz zwischen den beiden Punkten. Und wie würdest du diesen Quotienten aus zwei Differenzen dann nennen? Differenzenquotient klingt doch ganz logisch, oder?
Wie das mit konkreten Zahlen rauskommt, kannst du in der Zeichnung sehen, wenn du das Kontrollkästchen Differenzenquotient aktivierst.
Noch eine Bemerkung zu den Schreibweisen:
ist immer die Stelle (der x-Wert), an der wir die Steigung bestimmen wollen, x ist dann der x-Wert des zweiten Punktes, der verschoben werden kann.
3. Übungen dazu
Hier gibt's zwei vorgerechnete Beispiele und vier Übungsaufgaben dazu:
