Congruencia y Semejanza de triángulos

Lincoln Central, [i]https://www.youtube.com/watch?v=FaVABMOymkI[/i] — Lincoln Central, *https://www.youtube.com/watch?v=FaVABMOymkI*

Triángulos Congruentes

Dos triángulos se denominan congruentes si sus lados y ángulos correspondientes tienen las mismas longitudes y medidas, respectivamente. Si tenemos los triángulos ABC y A'B'C', estos serán congruentes si:

AB=A'B'
BC=B'C'
CA=C'A'

y los ángulos A, B, y C son iguales a los ángulos A', B', y C', respectivamente A continuación, mostraremos dos triángulos congruentes.

Podemos notar que en ambos triángulos, las medidas de los ángulos y los lados son iguales (manipule la figura para corroborar).

Criterios para determinar congruencia de triángulos

A continuación, veremos los criterios utilizados para determinar la congruencia de triángulos

Lado-Angulo-Lado (LAL)

Dos triángulos que tiene dos lados y al ángulo comprendido entre ellos iguales, son congruentes.

El triángulo ABC es congruente al triángulo A'B'C' por LAL.

Angulo-Lado-Angulo (ALA)

Dos triángulos con un lado igual y dos ángulos adyacentes iguales son congruentes

Los triángulos ABC y A'B'C' son congruentes por ALA.

Lado-Lado-Lado (LLL)

Dos triángulos con tres lados iguales son congruentes.

Los triángulos ABC y A'B'C' son congruentes por LLL.

Angulo-Angulo-Lado (AAL)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y uno de sus lados opuestos son iguales.

Los triángulos ABC y A'B'C' son congruentes por AAL.

Triángulos semejantes

Dos triánglos son semejantes si sus ángulos son iguales. Es decir, los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes si:

Como la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180° entonces para que dos triángulos sean semejantes, es suficiente que ellos tengan dos ángulos correspondientes iguales. El otro criterio para que sean semejantes sería que sus lados sean proporcionales. O sea, que se mantenga lo siguiente: Si tenemos dos triángulos

entonces:

Estableciendo que la proporción será determinada por el resultado de la proporción. Por ejemplo, si el resultado de la proporción es

decimos que la proporción es 3:1, pronunciado "3 a 1".

Ambos triángulos son semejantes.

Criterios para demostrar semejanza

Los siguientes criterios se utilizan para demostrar semejanza entre dos triángulos

Angulo-Angulo (AA)

Dos triángulos son iguales si dos de sus ángulos son iguales (esto automáticamente implica que el tercero será congruente por la propiedad de suma de ángulos internos)

Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes por AA.

Lado-Lado-Lado

Si sus lados son proporcionales, los triángulos son semejantes.

Ambos triángulos son semejantes por LLL. Notamos que su proporción es 2:1. Puede mover la figura para comprobar que siempre se mantendrá el 2, sin importar la medida del triángulo. Esto se debe a que la construcción del triángulo rojo se realizó creando un triángulo conectando los puntos medios del triángulo azul.

Lado-Lado-Angulo (LLA)

Si dos lados son proporcionales y uno de los angulos es igual, son semejantes.

Ambos triángulos son semejantes por LLA, donde la proporción de los lados vuelve a ser 2:1.