1102 Kör adott pontból húzott érintői
Feladat:
Legyen adott a P-modellen a c kör ( K középpontjával és az A kerületi pontjával), valamint egy rajta kívül levő P pont! Szerkesszük meg a P-re illeszkedő c-t érintő egyeneseket!
Előzetes megjegyzés:
Mint láttuk, a hiperbolikus geometriában nem érvényes Thalész tétele. Emiatt olyan megoldáson kell gondolkoznunk, amely egyaránt alkalmazható mind az euklideszi síkon, mind a P-modellen.
Ezért először nézzük meg, melyek azok az abszolút geometriai összefüggések, amelyeket ki tudunk használni.
- A kör egy adott pontjába húzott érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra.
- Az adott körrel koncentrikus, a körön kívüli adott pontra illeszkedő körvonal bármely pontjához tartozó érintő érintő-távolsága ugyanakkora, mint az adott ponthoz tartozó érintőtávolság.
- A körhöz külső pontból húzott két érintő érintőtávolsága ugyankkora.
Szerkesztés
A fenti összefüggésekre épül a Thalész tételt mellőző szerkesztési eljárás alapötlete.
Vegyük fel az adott kör egy tetszőleges érintőjét, ezen keressük meg azt az M pontot, amelyhez ugyanakkora érintőtávolság tartozik, mint P-hez. Ebből valamilyen egybevágósági transzformációval (pl. a PM szakaszfelező merőlegesére vonatkozó tükrözéssel) állítsuk elő az egyik, majd ebből a másik keresett érintőt.
Ezen a - tovább egyszerűsített -ötleten alapul az az Arkhimédész nevéhez fűződő szerkesztés, amely azonban Dávid Lajos Bolyai Geometria c. könyve (121.old.) szerint maga Euklídész is leírt: (Elemek III. 17.)
Mint látni fogjuk, ez a szerkesztés nem csak az abszolút geometriában - vagyis a P-modellen - , hanem a gömbi geometriában is alkalmazható, természetesen az ott kialakított eszköztár felhasználásával.
Eukleidész (és Arkhimédész) módszere a körhöz külső pontból húzott érintő szerkesztésére
Körhöz külső pontból húzott érintő szerkesztése a P-modellen
Körhöz külső pontból húzott érintő szerkesztése a gömbön
Paraciklus és hiperciklus érintői
Amint láttuk, a hiperbolikus geometriában a körön (és az egyenesen) kívül létezik még két szabályos görbe - azaz ciklus. Azt is tapasztalhattuk, hogy a P-modell HKör[K,A] eljárása paraciklus rajzolására is alkalmas, ha a kör K középpontja a p modell végtelen távoli pontjává fajul. Így a P-modellre alkalmazott szerkesztési eljárás némi átalakítással alkalmazható paraciklushoz húzott érintők megszerkesztésére is.
Adott pontból paraciklushoz húzott érintők
Adjunk meg a hiperciklust az A és B végtelen távoli, valamint a C belső pontjával, továbbá - alkalmas helyen - egy további P pontot. A már alaposan megismert (arkhimédészi- euklídeszi) érintőszerkesztést mindössze annyiban kell módosítanunk, hogy a c kör K középpontjára, ill. a paraciklus V végtelen távoli pontjára illeszkedő egyenesek helyett rendre a hiperciklus AB tartóegyenesére merőleges egyeneseket kell megszerkesztenünk.
Megjegyezzük még, hogy a fenti szerkesztés tovább egyszerűsíthető. Felesleges felvennünk a k=Hegyenes(A,B) egyenest, mert pl. az f=Hmerőleges(P,k) parancsban k helyett elegendő bemenő adatként a c hiperciklus nevét beírnunk, amelyet a c=Körív2(A,C,B) paranccsal kell megadnunk. Ugyanis:
- bármely egyenesre merőleges egyenes egyben merőleges az adott egyeneshez tartozó bármely hiperciklusra is.