Schnittpunkte mit den Achsen
Schnittpunkte mit der y-Achse
Der Schnittpunkt mit der y-Achse beschreibt, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Diesen Wert nennt man auch y-Achsenabschnitt. Dies passiert an der Stelle x=0. Ist die Funktionsvorschrift (der Term) gegeben, kannst du den y-Achsenabschnitt einfach ablesen, indem du den Summanden mit x ignorierst, und nur die Zahl ohne Variable nennst.
Eine Zahl ohne Variable in einem Term nennt man auch absolutes Glied, da sie unabhängig von der Größe von x ist und immer den gleichen Wert hat.
Hier ein Beispie:
--> das absolute Glied ist -5, somit ist der y-Achsenabschnitt -5!
--> das absolute Glied ist 10, somit ist der y-Achsenabschnitt ist 10!
Dies lässt sich auch immer durch Einsetzen von x=0 überprüfen!
und
In komplizierteren Funktionen ergibt es Sinn, x=0 einzusetzen, bei einfachen linearen Funktionen reicht es aber aus, wenn du den y-Achsenabschnitt einfach abliest!
Da Funktionen immer eindeutige Zuordnungen sind (also jedem x maximal einen y-Wert zuordnen), gibt es für jede Funktion immer nur einen y-Achsenabschnitt.
y-Achsenabschnitt graphisch
Schnittpunkt mit der x-Achse
Während du beim y-Achsenabschnitt einfach einsetzen oder ablesen konntest, muss beim Schnittpunkt mit der x-Achse oft gerechnet werden.
Die Schnittpunkte mit der x-Achse nennt man auch Nullstellen. Dieses Thema ist ein sehr zentrales in der gymnasialen Oberstufe und wird dir immer öfter begegnen.
Bei linearen Funktionen kann es, genau wie beim y-Achsenabschnitt nur eine Nullstelle geben. Für andere Funktionen gilt dies nicht! Je nach Funktionstyp kann es sogar unendlich viele geben!
Wie du auf der Graphik unten erkennen kannst, ist der Schnittpunkt mit der x-Achse die Stelle, an der y den Wert 0 annimmt. Also genau umgekehrt wie bei dem y-Achsenabschnitt.
Für manche Funktionen kannst du die Nullstelle einfach ablesen: da, wo der Graph die x-Achse schneidet!
Für andere ist der Wert allerdings so krumm, dass er zu berechnen ist.
Wie oben erwähnt, ist die Nullstelle die Stelle, für die y=0 ist. Da y dasselbe wie f(x) ist, setzt du diesmal in der Gleichung f(x)=0, also die ganze Funktion gleich Null. Diesmal bist du jedoch nicht sofort fertig, sondern musst erst noch nach x auflösen.
Bei linearen Funktionen ist das ganz einfach, es kann bei anderen Funktionen aber viel schwieriger werden.
Beispiel:
Nullstellen suchen:
Die gesuchte Nullstelle ist damit N(1,5|0), wie du auch am Graphen erkennen kannst. Achte bei den Äquivalenzumformungen darauf, rechts und links immer dasselbe zu tun! Wie bei einer Waage.