Explorando ángulos. Grados y radianes
Los ángulos son una medida de la rotación o giro entre dos líneas que se encuentran en un punto común, llamado vértice.
El ángulo es la abertura que forman dos rayos que parten de un mismo punto. La cantidad de giro entre estos rayos es lo que define el tamaño del ángulo.
Los ángulos son fundamentales en muchas áreas como la geometría, ingeniería, navegación, ciencia y tecnología, así como en la vida cotidiana.
Para diferenciarlos de otras variables se suelen expresar usando letras del alfabeto griego, como pueden ser α, alfa, β, beta o θ, theta.
Existen varias unidades para medir los ángulos, las más utilizadas son los grados y los radianes.
Como los ángulos se usan para describir rotaciones, es natural usar un sector circular para dibujarlos. Los grados se definen de forma que una rotación completa toma 360 grados, o 360°, de manera que cada uno de los 4 ángulos que componen el círculo mide 90°.
Los ángulos suelen medirse en sentido antihorario a partir de un lado arbitrario. Comunmente se usa como lado de referencia el eje x.
Cuando un ángulo es de 90° se dice que es un ángulo recto. Los ángulos menores de 90 se conocen como ángulos agudos, mientras que los mayores de 90 se conocen como ángulos obtusos.
Los ángulos 0° y el 360° representan el mismo ángulo, ya que despúes de una vuelta entera los ángulos se repiten. Por ejemplo, 90° representa el mismo ángulo que 450° (90+360). De esta forma, cualquier ángulo puede representarse entre 0 y 360 grados.
Si el ángulo es mayor que 360° simplemente se debe restar 360 para obtener el ángulo equivalente. En el caso del ejemplo anterior: 450 - 360 = 90°
La longitud de arco, S, se define como la medida del arco de circunferencia que produce un ángulo θ. La longitud de arco depende del radio, a más radio más longitud de arco.
En caso de tratar con círculos unitarios el radio r siempre será igual a 1.
El radián se define como el ángulo para el cual la longitud de arco es igual al radio. Si el ángulo está expresado en radianes, entonces la longitud de arco es igual al producto del radio por el ángulo, S=rθ.
En la siguiente hoja dinámica se puede ver el ángulo formado entre los puntos A y B expresado en grados y radianes. Se puede mover el punto B para cambiar el ángulo. Notar que como la circunferencia es de radio 1 la longitud de arco coincide con la medida del ángulo en radianes.
Actividad 1: Utilizar la hoja dinámica para expresar en grados un ángulo de 1 rad
Conversión entre grados y radianes
Entonces, ¿como se convierte de grados a radianes y viceversa?
La longitud de una circunferencia de radio 1 es 2π, por lo que 2π radianes equivalen a 360°, o lo que es lo mismo, π radianes equivalen a 180° (siguiendo el mismo razonamiento 90° equivalen a π /2 radianes)
Se puede plantear una regla de 3 para facilitar las conversiones. De grado a radián sería:
180° π rad
45° x rad
de donde
Mientras que de radián a grado:
180° π rad
x° π/4 rad
Actividad 2: En la imagen anterior, donde se muestra la definición de radián, se pueden ver unas cuadriculas angulares, que son más apropiadas para mostrar ángulos. ¿Cuál es la medida angular de una división de la cuadrícula en radianes?
Actividad 3: Expresar en radianes un ángulo de 60 grados
Actividad 4: Expresar en grados un ángulo de π/6
Actividad 5: Utilizar la hoja dinámica utilizar la hoja para comprobar los resultados de las actividades 2 y 3.
Actividad 6: Utilizar la hoja dinámica para mostrar un ángulo que cubra 3/4 partes de la circunferencia. ¿Cuál es la medida de ese ángulo en grados y radianes?
Ventajas y desventajas
¿Son más convenientes los grados o los radianes? Vamos a ver algunas ventajas y desventajas de cada uno:
Grados: Los grados son intuitivos y fáciles de entender, ya que dividen el círculo en una cantidad entera (360). Se utilizan en la mayoría de las aplicaciones prácticas, por ejemplo navegación y diseño gráfico. En cambio, los grados no se prestan bien para cálculos matemáticos y análisis de funciones trigonométricas avanzadas.
Radianes: Los radianes son más naturales en matemáticas y física. Por ejemplo, las funciones trigonométricas como seno y coseno tienen derivadas más simples y elegantes cuando se usan radianes. También permiten un análisis más directo y fluido de funciones periódicas y ondas. En cambio, son menos intuitivos para la mayoría de las personas que no están familiarizadas con el cálculo o la trigonometría avanzada y no se suelen usar fuera de un ámbito académico.
En resumen, los grados son más comunes y fáciles de entender en aplicaciones diarias, pero los radianes son más convenientes y efectivos en contextos matemáticos y científicos.