４．数の範囲
１.不等式の性質と解法
このページは電子ブック「探求 数学Ⅰ」の一部です。
＜不等式の性質＞
不等式は同じものを、両辺に対してたしても引いても大小関係は不変。
だから、等式のように移行しても不等号の向きは変わらない。
（例）
不等式は同じ正数で、両辺に対してかけてもわっても大小関係は不変。
（例）
不等式は同じ負数で、両辺に対して右辺かけてもわっても、大小関係は反転する。
（例）
＜不等式の解法＞
１次方程式のように、移項によって、１次の項と定数項を別の辺にまとめる。
１次方程式１のように１次の項の係数で定数項をわる。
割る数が負数のときは符号の向きを反転させる。
（例）
2.連立不等式
＜連立不等式＞
不等式をバラバラに解く。そのあとで、解の範囲の共通部分を不等式で表す。
＝があるときは以上以下になる。数直線では境目の数の位置に●をつける。
＝がないときは、大なりか小なりとなる。数直線では数の位置に◯をつける。
２つの不等号が同じときは、共通部分も同じ向きになる。
２つの不等号の向きが反対のときは、共通部分があれば◯や●の間にはさまれる範囲になる。
（例）
とならば、
（例）
とならば、なし
（例）
と
★解の共有範囲をイメージしよう。
★絶対値の不等式を視覚化してみよう。
３。絶対値と不等号
＜絶対値記号＞
・絶対値ｘをはずすには、ｘが非負ならｘ，ｘが負ならーｘ（ーｘが正の数を表す）
見かけにまどわされない。
（例）「｜ーx｜=5の解」
-xが正のときは-x=5からｘ＝−５。-xが負なら-(-x)=5。x=5
（別解）ーｘ＝±５となる。ｘ＝±５。
・絶対値記号をはずすときのｘと０の比較式が絶対値記号をはずしたあとの等式・不等式の解を限定する条件になる。
・絶対値記号のある方程式・不等式のグラフは絶対値記号の中の式の値が負になる部分をｘ軸に
線対称移動して折り返した図形になる。直線ならば折れ線になる。
（例）「|x+2|+|x-1|=5の解」
x+2=A,x-1=Bとおくと、A非負はｘ−２以上と同値、B非負はｘ１以上と同値。
ABともに非負ならｘ１以上のときで、ｘ＋２＋ｘ−１＝５ ２ｘ＝４。ｘ＝２は１以上でOK.
ABともに負ならｘ−２未満でｘ＋２＋ｘ−１＝−５ ２ｘ＝−６。ｘ＝−３は−２未満でOK.
A非負B負ならｘ−２以上１未満でｘ＋２＋１−ｘ＝５は不可。
A負B非負ならーｘ−２＋ｘ−１＝５も不可。まとめ、ｘ＝２か−３。
（別解）グラフの交点で解く。
y=x+2とy=1-xの交点は(-0.5, 1.5)だから、グラフの和は1.5+1.5=3
y= |x+2|のグラフとy=|x-1|のグラフは区間x=[-2,1]の間で、0+|-2-1=3から|1+2|+0=3と一定。
それ以外の区間はy=x+2+x-1=2x-3か、y=-x-2+1-x=-2x-1。y=5との交点は
2x-3=5からｘ＝４か、-2x-1=5からｘ＝-3。
・絶対値記号の中の式を０との比較で場合わけしたときの場合は排反なので、場合ごとの解は合併する。
共通部分を求めても仕方ない。