G 04 A pólus - poláris kapcsolat a gömbön

Szerző:Szilassi Lajos

A G-modell saját eljárásai között mindössze kettőnek nincs megfelelője a (középiskolai) euklideszi geometriában, ezért célszerű ezek tulajdonságaival és alkalmazási lehetőségeikkel kissé alaposabban megismerkedni. Ez a Pólus() és Poláris() eljárás.

Kapcsolatok: (A,A') ↔ a

A GPoláris(A) utasítás az alapgömb A pontjához azt G-egyenest rendeli, amelyet az AA' szakaszfelező merőleges síkja az alapgömbből metsz ki, ahol A' az A átellenes pontja. Így A'-nek ugyanaz a polárisa, mint A-nak. A GPólus(a) utasítás az a G_egyeneshez, - vagy G-körhöz - hozzárendeli az alapgömb középpontjára a tér a síkjára merőleges és az alapgömb középpontjára illeszkedő egyenesnek az alapgömbbel alkotott metszéspontjait, tehát két átellenes pontot, (G-kör esetében ezek a G-kör középpontjai.) Ha úgy tekintjük, hogy a GPoláris(() bemenő adata az (A,A') átellenes pontpár, és a GPólus() eredménye is egy pontpár, akkor ez a két művelet egymás inverze, azaz Gpólus(Gpoláris((A,A'))=(A,A') és GPoláris(GPólus(p) =p ahol (A,A') egy átellenes pontpár, p egy tetszőleges G-egyenes. Ha k egy G-kör, akkor persze az e=GPoláris(GPólus(k)I G-egyenes és k síkjai párhuzamosak.

Két pont és polárisaik

Legyen A (fix) és B (mozgatható) általános helyzetű (vagyis egymással nem átellenes) G-pont, ezek polárisai a ill. b , ezek metszéspontjai C és D. A GMetszéspontKK(a,b) eljárással kapott pontok elnevezéseit és színeit a két bemenő adat (a és b) sorrendje határozza meg. Az A és B pontokkal átellenes pontok polárisainak a metszérpontjai is ugyanezek a pontok lesznek. Legyen továbbá c=GEgyenes(A,B) , c Pólusai E és F ! Itt is az a két szín különbözteti meg a két kapott pólust. (Ezek felcserélését A és B felcserélésével érhettük volna el.) Az alábbi applet szerint C=E és G=F . Általában egy G-egyenes pólusaira illeszkednek az egyenesre illeszkedő pontok polárisai, és merőlegesek az adott egyenesre. Egy G-egyenes bármely pontja és az egyenes bármely pólusa olyan egy kvadátnyi szakaszt alkot, amely merőleges az adott egyenesre.

Szakasz polárisa

Mint itt már láttuk, egy G-egyenest két pontja és ezek átellenes pontjai négy G-szakaszra bontják. Ugyanígy két G-egyenes az alapgömb felületét is négy gömbkétszögre bontja. Ezek közül melyiket tekintsük az e=GSzakasz(A,B) (gömbi főkörív) polárisának? Egyértelműen meghatározott az e=AB G-szakasz szakaszfelező merőleges G_egyenese. Ez egyben két - egymással szemközti - gömbkétszögnek is a szimmetriatengelye. Ezek közül tekintsük azt AB polárisának azt, amelyik tartalmazza AB felezőpontját. (Magát AB-t csak abban az esetben, ha kisebb a negyedkörívnél. Hamarosan látni fogjuk, hogy ez a választás valóban praktikus, több szempontból is. (Egyben megegyezik az általánosan elfogadott gyakorlattal.) Azt azonban máris megállapíthatjuk, hogy az AB G-szakasz hossza - ami lényegében az (A,(0,0,0),B)∢ - és a polárisaként kapott gömbkétszög szöge kiegészítő szögpárt alkotnak. Speciális esetben, ha AB kvadráns, azaz (A,(0,0,0),B)∢ =90° , akkor A∈ b és B∈a, vagyis A,B és D olyan - szabályos - háromszög, amelynek az oldali kvadránsok, szögei derékszögek.

Poláris alakzatok

Gömbháromszög poláris gömbháromszöge

Az imént rögzített G-szakasz ↔ gömbkétszög kapcsolatot elfogadva, felhasználva alakíthatjuk ki a gömbháromszög poláris gömbháromszögének a fogalmát. Legyen A, B, Cegy G-háromszög három csúcsa, melyek egyértelműen meghatározzák a háromszög a, b, c oldalait képező G-szakaszokat! Rendre képezzük az a, b, c -hez polárisként hozzárendelt gömbkétszögeket. Ezek közül válasszuk ki azokat, amelyek rendre tartalmazzák az a, b, c G-szakaszok felezőpontjait. Ezek közös része egy olyan gömbháromszög lesz, amelynek a csúcsai rendre az a, b, c szakaszok pólusai (P_a, P_b, P_c), oldalegyenesei az A, B, Cpontok polárisai, oldalai az így kapott pontok által meghatározott G-szakaszok. Ha ehhez a hozzárendeléshez azokat a gömkétszögeket használjuk, amelyek nem tartalmazzák a háromszög oldalainak a felezőpontjait, akkor eredményül az előzőleg kapott gömbháromszög átellenes (Q_a,Q_b,Q_c) gömbháromszögét kapjuk.

Elemzés

A fenti applet alaphelyzetében az ABC Δ olyan szabályos G-háromszög, amelynek oldalai és szögei is derékszögek. Így éppen egybeesik a P ,vagy Q jelölőnégyzettel bekapcsolható duálisával. Mint korábban már tapasztalhattuk, a háromszöglapok megjelölése (színezése) sok számolást igényel, ezért az A,B,C pontok mozgatása előtt kapcsoljuk ki a lapok megjelenítését.