PERMUTASI DAN KOMBINASI
PERMUTASI UNSUR YANG BERBEDA
Permutasi adalah suatu susunan unsur-unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang
Berdasarkan kaidah dasar membilang, maka banyaknya susunan 3 unsur (huruf) berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur (huruf) yang boleh diulang adalah = 3 x 2 x 1 = 6 susunan.
Secara umum, penyusunan n unsur berbeda dalam suatu urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang disebut permutasi dari n unsur. Susunan urutan dapat dibentuk dari n unsur sebanyak :
n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x . x 3 x 2 x 1 = n!
Banyaknya permutasi dari n unsur, diberi notasi P(n, n) diberikan oleh
P(n, n) = nx(n–1)x(n–2)x … 3 x 2 x 1
Berapa banyaknya nama yang dapat dibentuk dari huruf-huruf yang terdapat pada kata MIRA ? Banyaknya unsur yang tersedia sebanyak 5 dan susunan yang akan dibentuk terdiri atas 3 unsur, maka :
- Huruf pertama dapat diisi dari 5 huruf pilihan yang mungkin
- Huruf kedua dapat diisi dari 4 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama
- Huruf ketiga dapat diisi dari 3 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama dan kedua
- Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
- Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?
- Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
- 5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720
PERMUTASI UNSUR YANG SAMA
Dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA, berapa banyaknya pasangan huruf yang dapat dibentuk?
Jika mengingat kembali tentang permutasi, seharusnya banyaknya pasangan yang dapat dibentuk adalah sebnyak 10! pasangan.
Namun, apakah M1A1TEM2A2TIKA3 sama dengan M1A3TEM2A2TIKA1?
Ambil P sebagai jumlah permutasi berbeda untuk kesepuluh huruf. Jumlah permutasi dari kedua huruf M adalah 2! dan jumlah permutasi dari ketiga huruf A adalah 3! Sehingga jumlah total permutasi adalah 2! x 3! x P.
Dengan demikian, diperoleh : 2!3!P = 10! Sehingga :
Contoh tersebut mengantarkan kita kepada definisi permutasi yang mengandung unsur yang sama: Misalnya suatu himpunan yang terdiri atas n elemen memiliki r1 elemen jenis pertama yang sama, r2 elemen jenis kedua yang sama, ., dan rk elemen jenis ke k yang sama, dengan : r1 + r2 + . rk < n
maka banyak permutasi berbeda dari n elemen diberikan oleh :
Contoh :
Contoh :
- Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?
- Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen?
- Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:
- a4b2c2 dapat dituliskan sebagai perkalian berikut : Perkalian tersebut mempunyai jumlah 8 huruf. Huruf a diulang 4 kali, huruf b diulang 2 kali, dan huruf c diulang 2 kali sehingga banyaknya cara untuk menuliskan tanpa menggunakan eksponen diberikan oleh :
PERMUTASI SIKLIS
Permutasi siklik dari n unsur adalah : (n - 1)!
Contoh :
Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?
Jawaban :
Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :
(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
KOMBINASI
Kombinasi adalah pencacahan yang tidak memperhatikan urutan objekobjeknya. Jika suatu himpunan dengan n buah anggota (objek) akan disusun
r objek tanpa memperhatikan urutannya, maka banyaknya susunan tersebut
dirumuskan :
Sebagai contoh akan dihitung banyaknya susunan dua huruf dari hurufhuruf A,B,C,D tanpa memperhatikan urutannya. Susunan dua huruf tersebut
adalah:
AB, AC, AD, BC, BD, CD
Terdiri dari 6 susunan.
Jika masalah di atas diselesaikan dengan rumus, akan diperoleh n = 4 dan r
= 2 sehingga,