Grundzüge der Mengenlehre
Mengen und Zahlenmengen
Mengen sind im Grunde alles, was man irgendwie als Gruppe zusammenfassen kann. Die Menge der Schüler:innen einer Klasse, die Menge aller Autos auf unseren Straßen, die Menge aller schönen Geschenke, die man in seinem Leben erhalten hat ...
In der Mathematik gibt es Zahlenmengen:
- Die Menge der natürlichen Zahlen (abgekürzt mit dem Symbol ) ist die Menge der Zahlen, mit denen man ganze Dinge zählen kann: . Manchmal möchte man die Null dabei haben, dann schreibt man:
- Die Menge der ganzen Zahlen (): In dieser Menge sind die Natürlichen Zahlen enthalten und alle negativen ganzen Zahlen.
- Die Menge der rationalen Zahlen (): Das ist die Menge aller Zahlen, die man als Bruch darstellen kann. Die Mathematiker schreiben das so:
- Die Menge der irrationalen Zahlen (): Das ist die Menge aller Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Beispiele dafür sind die Kreiszahl oder
- Die Menge der reellen Zahlen (): Das sind alle rationelen und alle irrationalen Zahlen zusammen.
Elemente, Mengen und Teilmengen, Schreibweisen
Eine Menge besteht in der Regel aus vielen Teilen. Diese Teile nennt man Element der Menge.
- Wenn ein Element der Menge ist, dann schreibt man (sprich: "m ist Element der Menge M").
- Wenn kein Element der Menge ist, dann schreibt man (sprich: "q ist kein Element der Menge M")
- Wenn die Menge in der Menge enthalten ist, dann schreibt man (sprich: T ist Teilmenge von M)
- Wenn T in der Menge M enthalten oder gleich M ist, dann schreibt man:
- Wenn die Menge nicht in der Menge enthalten ist, dann schreibt man (sprich: N ist nicht Teilmenge von M)
- Wenn T nicht in der Menge M enthalten oder gleich M ist, dann schreibt man:
Mengen-Operationen
Man kann Mengen sehr schön in Kreisen veranschaulichen, sogenannten Finn-Diagrammen:
Wenn man alle Elemente zusammen nimmt, die sowohl Teil der Menge als auch Teil der Menge sind, dann erhält man die Vereinigungsmenge : ("A vereinigt mit B")
Wenn man nur die Elemente betrachtet, die sowohl Element der Menge als auch Element der Menge sind, dann erhält man die Schnittmenge: ("A geschnitten mit B")
Alle Elemente, die zu Menge gehören, aber nicht zur Menge sind Element der Differenzmenge "A ohne B":
Alle Elemente, die nicht zur Menge gehören, sind Element der Komplementärmenge (im Bild unten schraffiert)
Wenn man alle Elemente zusammen nimmt, die sowohl Teil der Menge als auch Teil der Menge sind, dann erhält man die Vereinigungsmenge : ("A vereinigt mit B")
Wenn man nur die Elemente betrachtet, die sowohl Element der Menge als auch Element der Menge sind, dann erhält man die Schnittmenge: ("A geschnitten mit B")
Alle Elemente, die zu Menge gehören, aber nicht zur Menge sind Element der Differenzmenge "A ohne B":
Alle Elemente, die nicht zur Menge gehören, sind Element der Komplementärmenge (im Bild unten schraffiert)