Il Baricentro
TEOREMA
Le mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto, che divide ogni mediana in due segmenti di cui quello che ha un estremo in un vertice è doppio dell’altro.
DEFINIZIONE
Il punto di incontro delle mediane di un triangolo si chiama baricentro.
DIMOSTRAZIONE
Dimostriamo che il punto di incontro di due mediane divide ognuna delle mediane in due parti una doppia dell’altra. Nel triangolo ABC il segmento NP congiunge i punti medi di due lati, quindi NP è parallelo ad AC e congruente alla sua metà, per la proprietà della congiungente dei punti medi dei lati di un triangolo. Nel triangolo AGC il segmento QR congiunge i punti medi di due lati, quindi QR è parallelo ad AC e congruente alla metà di AC, per la proprietà enunciata in precedenza. Il quadrilatero QNPR ha i due lati opposti NP e QR congruenti (entrambi metà di AC) e paralleli (entrambi paralleli ad AC), quindi è un parallelogramma.
In un parallelogramma le diagonali si incontrano nel loro punto medio, quindi QG GP e RG GN.
Per costruzione, Q è punto medio di AG, quindi AQ QG GP, pertanto AG 2GP. Analogamente, R è Punto medio di CG, quindi CR RG GN, pertanto CG 2GN. Ripetendo lo stesso ragionamento con le mediane CN e BM, si deduce che anch’esse si intersecano in modo da dividersi in parti tali che quella che ha per estremo un vertice del triangolo ABC è doppia dell’altra. Dimostriamo che il punto di incontro delle mediane è uno solo. La mediana BM è divisa nello stesso modo sia dal punto di intersezione con AP, sia da quello di intersezione con CN, quindi AP e CN devono intersecare BM nello stesso punto G.