2023 - Sess. Straord. - P1(c), (d)
Parte (c)
Si consideri la funzione e si verifichi che vale la disuguaglianza , indipendentemente dal valore di .
Si consideri l'integrale che esprime l'area della regione delimitata dai grafici delle funzioni e e dalle rette di equazione e .
Si calcolino e il , fornendo un'interpretazione geometrica del risultato ottenuto.
Parte (d)
Calcolare
e verificare che il risultato non dipende da .
e verificare che il risultato non dipende da .
SOLUZIONE PARTE (c) - Disequazione
, cioè il grafico della famiglia di funzioni si trova sempre al di sopra del grafico della funzione .
Infatti, semplificando la disequazione si ha che è vera .
Integrale
.
Utilizza gli slider nell'app di seguito per visualizzare l'area tra le due curve definita da al variare di e .
Sebbene l'area sia una porzione di piano illimitata a destra, ha una misura finita.
SOLUZIONE PARTE (d)
Il limite non dipende da quando .
Numeratore e denominatore sono infiniti dello stesso ordine, ciascuno con infinito principale .
Il limite è quindi il rapporto tra i coefficienti dei due infiniti principali a numeratore e denominatore.