Teorema de Pitágoras

Pitágoras, [i]wikipedia[/i] — Pitágoras, *wikipedia*

Pitágoras fue un matemático que aportó un teorema muy importante para la geometría y trigonometría.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Demostración del teorema de Pitágoras

Consideremos un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A. Sea D el pie de la perpendicular desde A. Veamos la siguiente figura:

Note que los triángulos DBA y ABC son semejantes por AA ya que ambos son rectángulos y comparten el ángulo en B. Por lo tanto,

, luego

(a) De igual manera, los triángulos DAC y ABC son semejantes. Entonces

y se tiene que

(b) Sumando las ecuaciones (a) y (b) obtenemos

Teorema (recíproco de Pitágoras)

Si en un triángulo se tiene que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo.

Demostración del recíproco de Pitágoras

Supongamos que ABC es un triángulo cualquiera que cumple

. Veamos la siguiente figura:

Sea D el pie de la perpendicular desde A sobre el lado BC. Por el teorema de Pitágoras se tiene que

. Sumando estas dos ecuaciones tenemos que

. Pero por hipótesis

luego

(a) Por otro lado

(b) De (a) y (b) tenemos que

Simplificando obtenemos

Note que los triángulos rectángulos ADB y C'AB son semejantes. De igual manera los triángulos C'DA y C'AB son semejantes. Por lo tanto los triángulos C'DA y C'AB son semejantes. Por lo tanto los triángulos ADB y C'DA son también semejantes. Por tanto...

entonces

. Igualando esta última ecuación con la ecuación (c) se tiene que

. Entonces

y esto implica que

. Por lo tanto el triángulo ABC es rectángulo

Teorema de Pitágoras