Geodäte eines Funktionsgraphen (überarbeitet)
Geodätische von Funktionsgraphen - Überarbeitung
Bei der Beschäftigung mit der Allgemeinen Relativitätstheorie stößt man unweigerlich auf Geodäten. Leider sind die zugehörigen Differentialgleichungen schon für gekrümmte Flächen sehr einschüchternd. Weiter habe ich einen Zugang nach der Methode der kleinen Schritte gesucht, um die Geodäten der Anschauung fassbarer zu machen. Für eine im euklidischen R^3 eingebettete Fläche (insbesondere also für Funktionsgraphen von z=f(x,y)) ist dies gut machbar. Wenn in einer solchen Fläche die Bahnkurve eines an die Fläche gebundenen Teilchens verläuft, dann gibt die kovariante Ableitung die Beschleunigung an, die das Teilchen in der Fläche erfährt. Wenn das Teilchen beispielsweise auf einer Kugeloberfläche (mit gleichförmiger Geschwindigkeit) längs des Äquators läuft, dann erfährt es (bezüglich der Kugelfläche!) keine Beschleunigung - die vom R^3 abgeleitete Zentripetalkraft zeigte immer senkrecht auf die Kugelfläche und würde "absorbiert"; es gibt keine tangentiale Komponente, die sich dem Teilchen in der Fläche mitteilte. Die Bewegung des Teilchens in der Fläche ist frei und es folgt einer Geodäte.
Allgemein zeichnet sich eine Geodäte durch das Verschwinden der kovarianten Ableitung aus. Im angehängten Skript ist genauer ausgeführt wie sich aus dieser Bedingung mit elementaren Mitteln der Analytischen Geometrie eine einfache Näherung entwickeln lässt. Die Genauigkeit der Rechnung dürfte sich in der Größenordnung von 1/n*h bewegen...