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Porisma de Poncelet. Polígonos bicéntricos; con circuncentro e incentro

Autor:Javier Cayetano Rodríguez
Es conocido que los triángulos tienen multitud de centros diferentes: baricentro, circuncentro, incentro, ortocentro... Sin embargo, para un polígono en general ¡incluso un cuadrilátero!, tan solo podemos definir el baricentro, su "centro de gravedad".
  • Pero, en ocasiones, hay algunos polígonos que están inscritos en una circunferencia, pues tienen todos sus vértices en ella. En ese caso, decimos el circuncentro del polígono es el centro de esta circunferencia, y la circunferencia es circunscrita.
  • Igualmente, puede ocurrir que una circunferencia esté inscrita en el polígono, pues todos sus lados sean tangentes a ella. En ese caso, decimos que el incentro del polígono es el centro de esta circunferencia.
En ocasiones muy especiales, ocurren estas dos cosas a la vez. A los polígonos que tienen circuncentro e incentro, se les denomina bicéntricos. Todos los triángulos son bicéntricos, pero no todos los cuadriláteros, etc. El matemático Poncelet demostró que, además, cuando esto ocurre, podemos recorrer la circunferencia circunscrita con una familia de estos polígonos bicéntricos (por eso, a esta propiedad se le denomina porisma). En la siguiente construcción puedes ver diferentes casos, desde 3 hasta 6 lados, y la animación nos muestra toda la familia correspondiente de polígonos.
Marcando la casilla Incentro y modificando la posición del centro de esta circunferencia podemos comprobar que el radio depende de la distancia entre el circuncentro y el incentro.
  • De hecho, esta relación es la que se utiliza para construir polígonos bicéntricos.
  • Más abajo, en las actividades de ampliación, podemos ver cómo se obtienen estos radios.

Actividades

[1] Utiliza las herramientas de GeoGebra para

  1. Construir un pentágono inscrito en la primera circunferencia.
  2. Construir un cuadrilátero circunscrito a la segunda.
  3. Mostrar que los polígonos que hemos construido no son bicéntricos.
  4. Porfolio: escribe unas breves indicaciones sobre cómo has hecho las construcciones (herramientas GeoGebra utilizadas, proceso seguido, si has encontrado alguna difucultad...).

[2] Las dos circunferencias del siguiente applet están construidas para que podamos implementar el porisma de Poncelet. Como en el applet inicial, podemos modificar la posición del incentro.

  • Fíjate en que se ofrece un intento de solución incorrecto, porque el polígono está inscrito en la circunferencia marrón, pero sus lados no son tangentes a la circunferencia azul. Indica qué es lo que ha podido fallar al hacer ese intento de construcción.
  • Borra Toolbar Image ese polígono incorrecto y haz la construcción correcta. ¡Ojo! Debe ser una construcción: al mover los puntos, el polígono resultante debe seguir siendo bicéntrico.
  • ¿Para cuántos lados están construidas las circunferencias?
  • Mientras resuelves el ejercicio, comprueba que solo sirve para ese número de lados.
  • Porfolio: escribe algunas indicaciones sobre el proceso que has seguido.
(*) Puedes marcar la casilla Solución para comprobar qué debe ocurrir.

Ampliación

[3] Utilizando la capacidad de GeoGebra para resolver ecuaciones, y así calcular el inradio, ¿te atreves a hacer la construcción desde cero? Por ejemplo, para 4 o 5 lados. Por comodidad, puedes hacer como en el applet inicial. Dejar fijo el radio de la circunferencia circunscrita, y restringir el incentro a que se sitúe sobre un diámetro de la circunferencia circunscrita.

  • Más abajo tenemos las correspondientes expresiones de los radios, que debemos utilizar para resolver la actividad.
  • Sube la actividad a la web de GeoGebra y pega el enlace a continuación.
  • Porfolio: incluye, tras el enlace, algunas indicaciones sobre el proceso seguido.

Datos para la actividad

Para resolver esta actividad, necesitaremos saber la relación entre los radios de las circunferencias.
  • La fórmula general que relaciona la distancia entre los centros y el radio de la circunferencia inscrita para cualquier número de lados, es muy complicada. De hecho, se necesitan funciones elípticas, que no son elementales.
  • Sin embargo, para los primeros casos, las expresiones se simplifican.
  • A continuación tenemos las expresiones para esos primeros casos, de donde se puede despejar (podemos usar las herramientas de GeoGebra) el valor del inradio r en función del circunradio R.
Los primeros casos son: (*) denotamos d=distancia entre los centros, R=radio de la circunferencia circunscrita "circunradio", r=radio de la circunferencia inscrita "inradio". Triángulo . Esta fórmula también se conoce como Teorema geométrico de Euler. Cuadrilátero , de donde se puede despejar fácilmente el valor de Pentágono , de donde podemos despejar dos posibles valores de (uno positivo y otro negativo), que nos dan los correspondientes polígonos convexo y estrellado. Utilizaremos los valores absolutos. Hexágono , de donde podemos despejar el valor de .

Referencias

  • En esta página de Wolfram podemos ver las expresiones que relacionan los radios, y algunas explicaciones más detalladas.
  • En esta página de Ricardo Barroso tenemos una demostración del caso general para cualquier tipo de cónica, no necesariamente circunferencias.

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