Sekant, tangent och derivata
Sekant
Om vi tänker oss en linje som skär kurvan i minst två punkter då är det en sekant.
En sekant är en rät linje som ger medel-lutningen mellan två punkter.
Sekantens lutning är den samma som ändringskvoten.
Sekantens lutning =
Du börjar kanske känna igen detta som k-värdet hos en rät linje?
Tangent
En linje som rör vid en kurva vid precis en punkt kallas tangent. I den punkten har tangenten och kurvan samma lutning. Detta kallas också för derivatan. Derivatan skrivs som för en punkt och utläses "f prim x". Exempelvis om vi vill veta lutningen när blir det .
Derivatan av denna typ är ett gränsvärde. För gräns använder vi det latinska limes vilket förkortas med lim.
Ett gränsvärde som vi kommer använda senare är derivatans definition
, där a är x-värde för en punkt på funktionen och h är avståndet till en annan punkt som minskar.
Se i appleten ovan, när vi minskar blir sekanten närmare och närmare tangenten för att till slut bli samma (inte riktigt eftersom man inte får dividera med 0, men vi kan tänka oss).
Vi kan i stället använda oss av ett annat gränsvärde
, där a är x-värdet för en punkt på funktionen och vi låter x-värdet av en annan punkt närma sig a.
Lika så som i appleten ovan.
Skillnad
Tänk på skillnaden mellan och !
är värdet när
är förändringen när
Övning
Uppgift 1
För vilka punkter gäller ?
Uppgift 2
För vilka punkter gäller ?
Uppgift 3
För vilka punkter gäller ?
Uppgift 4
För vilka punkter gäller ?
Uppgift 5
För vilka punkter gäller ?
Uppgift 6
För vilka punkter gäller ?