Unterrichtssequenz- Volumina bei Schiefkörpern anhand von Cavalieri

Informationen

-Klassenstufe: 9./10. Klasse -Sequenzdauer: ca. 40-45 Minuten -Thema: Erläuterung der Volumina(-berechnung) von Schiefkörpern anhand von Cavalieri

Vorwissen der SuS

Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits -wissen, wie man Flächeninhalte von verschiedenen Flächen, unter anderem auch n- Ecken berechnen kann -Volumina von mathematischen ,,Grundkörpern" wie z.B. Kegel, Prisma, Zylinder und Pyramide mit verschiedenen Grundseiten berechnen können -Vorkenntnisse in GeoGebra haben -bereits Erfahrungen mit haptischen Modellen im Unterricht gesammelt haben

Ziel der Unterrichtssequenz

Die Schüler und Schülerinnen sollen sehen, dass speziell bei schiefen Pyramiden, wo die Spitze ausserhalb der Grundfläche liegt, das Volumen ganz leicht mit dem Satz von Cavalieri erklärt werden kann und wie man dieses berechnet. Das Volumen von solchen, zunächst befremdlichen und unhantlich erscheinenden Körpern kann ganz leicht auf bereits vertraute Körperformen zurückgeführt und beschrieben werden. Später wird klar, dass dies nicht für auf Pyramiden, sondern allgemein für Körper gilt.

Einstieg in den Unterricht/Wiederholung

Dauer: ca. 10 Minuten Der Unterricht beginnt mit einer kurzen Wiederholung, in welcher die Lehrkraft zunächst allgemein das Volumen samt Formel für Pyramiden mit quadratischer und allgemeiner Grundfläche wiederholt und anschließend physische Modelle zeigt, welche veranschaulichen, wie das Volumen hergeleitet werden kann. Anschließend wird eine schiefe Pyramide als Modell gezeigt und eventuell durch die Reihen gegeben, es wird schnell klar, dass man das Volumen nicht einfach wie bei den anderen Formen der Pyramide herleiten kann. Die SuS können Vermutungen aufstellen, wie die Formel für das Volumen lautet und warum. Wichtig hierbei ist, dass die SuS bereits in vorherigen Stunden selbst, aktiv an Modellen wurden und mit diesen experimentiert haben sowie Erfahrungen gesammelt. Andererseits wäre diese kurze Wiederholung anhand von Modellen keineswegs ausreichend für ein nachhaltiges Verständnis übder die Körper samt deren Eigenschaften.

Erarbeitung Satz von Cavalieri per Geogebr

Dauer: ca. 20-25 Minuten Die Aufgabe besteht darin, zwei Körpern, deren Volumen die SuS leicht ermitteln können, in Geogebra zu erstellen. Danach wird ein dritter Körper, ein Schiefkörper erstellt, auf welchen sich in dem Einstieg der Stunde bezogen wurde. Der Trick hierbei ist, dass alle drei Körper zwar komplett unterschiedlich aussehen, jedoch identische Grundflächen und Höhen haben, also ebenso das gleiche Volumen. Durch das Erstellen und schneiden der drei Körper mit, zur Grundseite der Körper, parallelen Ebenen in unterschiedlichen Höhen, soll den Schüler und Schülerinnen auffallen, dass jeweils die Flächeninhalte der Schnittflächen in allen drei Körpern stets identisch sind. Nun sollen sie sich fragen, wenn dies für 2-3 Ebenen gilt, ob es das auch für 4, 5, 6 oder sogar ,,unendlich viele" Ebenen gilt. Anschließend wird der Übergang vom Flächeninhalt zum Volumen geschaffen indem nun das Volumen der zwei bereits bekannten Körpern berechnet wird. Anschließend sollen Vermutungen über das Volumen des dritten, ,,unbekannten" Körpers erstellt werden. Um mögliche, technische Verständnisprobleme auszugleichen wird die Aufgabe in Partnerarbeit an Laptops bearbeitet. Der Lehrer kann hierbei über GeoGebra Classroom die SuS beaufsichtigen bzw. durch die Reihen gehen und bei aufkommenden Fragen oder Problemen unterstzützen. Denn nicht der Erwerb von Fähigkeiten in GeoGebra steht im Vordergrund, sondern der inhaltliche Aspekt. Aufgabe 3 aus dem GeoGebra Praktikum: a) Erstelle drei Körper: - einen Kegel mit Radius

. Erstelle hierzu zunächst die Punkte A(1,1,0) und B (1,1,2). Wende auf die Punkte an und gib den Radius ein) - eine quadratische Pyramide mit Eckpunkten D(1,-1,0), E(2,-1,0), F(1,-2,0), G(2,-2,0) und der Spitze S(-

,2) - eine Pyramide mit der Grundfläche I(-1,-1,0), J(-2,-1,0) und K(-1,-3,0) sowie der Spitze L(-1,1,2) b) Entferne den Haken bei ,,Ebene anzeigen" in den Einstellungen. Wähle nun drei Punkte so, dass sie auf einer Ebene parallel zur XY Ebene liegen und die Höhe

besitzen, indem du verwendest. Wiederhole den Prozess mit Höhe 1 und

, so dass du drei Ebenen hast. c) Bestimme die Schnittfläche deiner drei Körper mit den drei Ebenen und vergleiche diese. (Nutze hierzu zunächst für die Schnittflächen und anschließend um den Flächeninhalt zu bestimmen). d) Vergleiche die Flächeninhalte. Was fällt dir auf? Was erwartets du, wenn du weitere Ebenen konstruierst und deren Scnittflächen samt Flächeninhalt bestimmst? Diskutiere mit deinem Partner e) Berechne per Hand das Volumen der ersten beiden Körper. Welches Volumen erwartest du für den dritten Körper? Warum so? Überprüfe deine Vermutung per .

Besprechung der Aufgabe + Vorstellung Cavalieri

Dauer: 15 Minuten Lasse nun zwei oder drei Schülerpaare ihre Lösungen samt Überlegungen vorstellen. Hierzu kannst du ihr bearbeitetes Applet an die Wand projezieren. Nach einer kurzen Besprechung der Aufgabe, stellt die Lehrkraft das zugrunde liegende Prinzip für die Berechnung des Volumens eines Schiefkörpers vor, den Satz von Cavalieri. Dieser wird nun anschließend erklärt, definiert und es werden weitere Beispiele gegeben. Es kann auch gezeigt werden, dass dieser Satz nicht nur speziell für Pyramiden, sondern allgemein für Körper gilt. Der Sachverhalt kann nun mit weiteren Aufgaben aus z.B. dem Lambacher Schweizer gefestigt werden.

Didaktischer Hintergrund

Räumliches Vorstellungsvermögen ist nicht nur für unseren Alltag, sodern auch innerhalb der Mathematik, genauer gesagt der Geometrie sehr relevant. So werden schon Kinder innerhalb dem Kindergarten durch Modelle an verschiedene Körperformen herangeführt, oftmals spielerisch, was dann in der Grundschule durch erste, grundlegende Formeln und Eigenschaften ergänzt wird. Dies zieht sich bis in das Gymnasium durch, wobei die Körper stets komplexer und abstrakter werden. Eine besondere Relevanz, wenn man innerhalb der Schule mit Körpern und Volumina arbeitet, liegt hierbei auf dem Enaktiven Zugang (vgl. EIS Prinzip). Besonders für junge SuS ist es von enormer Relevanz, aktiv Erfahrungen an echten, haptischen Modellen zu sammeln. Denn nur so kann eine grundlegende Intuition für die Körper samt deren Eigenschaften gesammelt werden, auf diesen Vorstellungen wird später enorm im Mathematikunterricht aufgebaut. Fallen diese grundlegenden, räumlichen Vorstellungen weg, kann es aufgrund unzureichender Abbildungen, wie sie zuhäufe in den Schulbüchern vorhanden sind, zu Fehlvorstellungen kommen und es kann keine sinnvolle Geometrie betrieben werden. Nicht nur junge SuS, sondern auch Ältere profitieren enorm von dem Arbeiten an konkreten Modellen. Allerdings werden im späteren Verlauf der Schuljahre die Körper immer abstrakter und komplexer, wodurch diese nicht mehr rein durch physische Modelle dargestellt werden können, hier sind den Modellen einfach Grenzen gesetzt. Doch da, wo haptsiche Anschauungen nicht mehr mithalten können, kommen digitale Werkzeuge wie z.B. Geogebra ins Spiel: diese bieten eine Alternative, um auch komplexe Körperformen und Operationen anschaulich, auf ikonischer sowie enaktiver Ebene, darzustellen und mit diesen zu hantieren. So auch im vorgestellten Unterrichtsentwurf zum Satz von Cavalieri. Den Schülern wird versucht, einen möglichst enaktiven und bildlichen Zugang zu dem Thema zu ermöglichen, da dies allein durch Modelle schwer umsetzbar ist, wird hierbei ein digitales Medium zur Unterstützung rangezogen. Doch es ist stets zu beachten, dass man dies in den meisten Fällen nur bei Themen verwenden sollte, die man nicht durch physische Modelle darstellen kann und auch erst wenn die SuS bereits grundlegende Erfahrungen anhand Modellen gesammelt haben, auf denen die späteren Themen beruhen. Das Arbeiten mit haptischen Modellen ist im Geometrieunterricht unersetzlich und sollte durch digitale Werkzeuge keinesfalls ersetzt, sondern maximal an geeigneten Stellen unterstützt werden.

Quellen

-Weigand, H. et al. (2018). Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe. 3. Auflage. Berlin: Springer Verlag -Vogt, T. (2013): Raumanschauung. Der Mathematikunterricht. Jahrgang 59, Heft 3. Friedrich Verlag -http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/DFU-Koerper/cavalieri.html