Skizzieren des Funktionsgraphen gebr.-rat. Funktionen
Nachdem wir nun in der Lage sind, verschiedene Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen zu untersuchen, wollen wir nun versuchen, anhand unserer Ergebnisse den Funktionsgraphen zu skizzieren. Dies verdeutlichen wir an einem Beispiel.
Wir betrachten die Funktion und untersuchen an ihr alle uns bekannten Eigenschaften.
1. Definitionsbereich und Polstellen.
Wir untersuchen, an welchen Stellen der Nenner Null wird:
oder
(2-fach); (1-fach)
Der Definitionsbereich lautet: . An der Stelle x = 0 hat der Graph eine 2-fache Polstelle ohne VZW und an der Stelle x = 3 eine 1-fache Polstelle mit VZW.
2. Symmetrie
Schon der Nenner enthält gerade und ungerade Exponenten und lässt daher keine Symmetrie erkennen. Dasselbe gilt deshalb auch für f selbst.
3. Nullstellen
Wir setzen den Funktionsterm gleich null:
|
MNF: und
x = -1 ist also eine zweifache Nullstelle ohne VZW, d.h. dort berührt der Graph die x-Achse.
4. Verhalten im Unendlichen
Der Graph nähert sich auf der rechten Seite von oben (+0) der x-Achse und auf der linken Seite von unten (-0). Die x-Achse ist also eine waagerechte Asymptote.
Damit haben wir alles beisammen, um den Funktionsgraphen zu skizzieren. Im folgenden Applet sind alle Ergebnisse eingetragen. Drücken Sie auf den Play-Button, um das Skizzieren des Graphen zu verfolgen.
Abschließend finden Sie ein Aufgabenblatt, mit dem Sie das Untersuchen und Skizzieren von gebrochen-rationalen Funktionen üben können.
