Alapfogalmak és a GeoGebra 3D
Néhány térgeometriai (alap)fogalom, összefüggés:
- Két egyenes kitérő, ha nincs közös síkjuk. (Így közös pontjuk sincs.)
- Két kitérő egyenes szögén a velük párhuzamos, metsző egyenespár szögét értjük.
- Egy sík és egy egyenes merőleges ha a sík minden egyenesére merőleges.
- A síkra merőleges egyenest a sík normálisának, az egyenesre merőleges síkot az egyenes normálsíkjának nevezzük.
- Két (vagy több) egyenes transzverzálisa olyan egyenes, amely mindkét (több egyenes esetén az összes) egyenest metszi.
- Két egyenes normáltanszverzálisa olyan egyenes, amely mindkét egyenest merőlegesen metszi. Két kitérő, vagy metsző egyenesnek pontosan egy normáltranszverzálisa van. Két párhuzamos egyenesnek végtelen sok.
- Egy egyenes merőleges egy síkra, ha merőleges a sík két, egymást metsző egyenesére. (Ez az un. síkra merőleges egyenes tétele).
- Két sík merőleges egymásra, ha egyikre illeszkedik a másik valamely normálisa. A síkok közötti merőlegesség szimmetrikus reláció.
- Ha egy sík merőleges két egymást metsző síkra, akkor ezek metszésvonala is merőleges rá.
- Egy egyenes akkor párhuzamos egy síkkal, ha van a síkban fekvő, vele párhuzamos egyenes.
- Ha egy egyenes párhuzamos két egymást metsző síkkal, akkor párhuzamos a metszésvonalukkal is.
- Egy derékszögnek egy síkra eső merőleges vetülete akkor és csak akkor derékszög, ha az egyik szára párhuzamos a síkkal, a másik nem merőleges rá.
Térelemek megadása a GeoGebra 3D eszköztárával
A GeoGebra Programot elindítva a Nézet/3D-s nézet menüponttal tudjuk bekapcsolni a a 3D_s grafika „rajzlapot” amelyet itt inkább rajztérnek nevezhetnénk. A rajztér elnevezés azért is indokolt, mert a térnek azt a részét látjuk, amely a képernyő, ill. a 3D-s rajz méretéhez igazodó halvány vonallal jelzett téglatesten belül van. Ugyanezt a GeoGebra vágási téglatestnek nevezi. Látunk még egy térbeli derékszögű koordinátarendszert, amely tengelyei közül a piros az x zöld az y és kék a függőlegesnek tekintett z tengely. A rajzteret ‑ az ebben ábrázolt objektumokkal együtt ‑ lenyomott jobb egérrel mozgathatjuk. Itt azonban, ha az egér jobb billentyűjét vízszintes mozgás közben engedjük föl, ezzel az alakzatnak adunk egy „lendületet”, amely egyenletesen forgatja az egész ábrát a rajztér középpontján átmenő, z-vel párhuzamos egyenes körül. Ez nem mindig maga a z tengely, ugyanis a kurzormozgató nyilakkal elmozdítható az origó az x ill. y tengely irányába (épp úgy mint a síkbeli rajzlapon). A z irányú elmozdításra a Page Up,Page Down billentyűket használhatjuk.
A térbeli koordinátarendszerről vagy egy alakzatról készült kép nagyítása, kicsinyítése a (zoomolás) a megfelelő ikonnal, vagy az egérgörgővel oldható meg.
Pont megadása: 
Kurzorral pontot csak az xy sík vágási téglatestén belüli részén, vagy egy már felvett vonalon (pl. egyenes szakasz, körvonal) vagy felületen (pl. sík, sokszög, kúp palást) tudunk felvenni, ha a kurzor érzékeli és ezt jelzi: ( X alakúra változik). Pontot megadhatunk koordinátáival is a parancs sorban.
Pl.: P=(1,2,3)
Pont mozgatása: Ha a kurzor a mozgatandó pont közelébe kerül, akkor először a négy irányba mutató nyilak jelennek meg. Ekkor a pont az xy síkkal párhuzamosan, vagy adott objektumon mozoghat. Újból a pontra kattintva a kurzor fel-le irányú nyílra változik, ekkor a z tengely irányába mozgatható.
Kurzorral pontot csak az xy sík vágási téglatestén belüli részén, vagy egy már felvett vonalon (pl. egyenes szakasz, körvonal) vagy felületen (pl. sík, sokszög, kúp palást) tudunk felvenni, ha a kurzor érzékeli és ezt jelzi: ( X alakúra változik). Pontot megadhatunk koordinátáival is a parancs sorban.
Pl.: P=(1,2,3)
Pont mozgatása: Ha a kurzor a mozgatandó pont közelébe kerül, akkor először a négy irányba mutató nyilak jelennek meg. Ekkor a pont az xy síkkal párhuzamosan, vagy adott objektumon mozoghat. Újból a pontra kattintva a kurzor fel-le irányú nyílra változik, ekkor a z tengely irányába mozgatható. 1. feldat:
Legyen adott a tér A, B , valamint a P,Q, R pontja! Szerkesszük meg az f=(A,B) egyenesnek az S=(P,Q,R) síkra eső merőleges vetületét.
A GeoGebra 3D lehetőségeivel most ismerkedő felhasználóinknak javasoljuk, hogy ezt a feladatot előbb próbálják önállóan megoldani Ezt követően tanulmányozzák az alábbi applet forrásfájlját.
Figyeljük meg a fenti applet elemzésénél, hogy két sík metszésvonala a 
ikonnal vagy az UtakMetszete(,) paranccsal adható meg.
Másik figyelemre méltó, talán kevésbé ismert (vagy követett) a térbeli alakzatok megjelenítéssel kapcsolatos ikon ez 
, amelyet aktivizálva, ha egy síkra, (síkidomra), egyenesre kattintunk, akkor az egész rajz nézőpontja (vetítési iránya) erre merőleges lesz. Pl. ha egy egyenesre kattintunk, és a vetítés iránya merőleges a képsíkra (amit a GeoGebra párhuzamos vetítésnek nevez (helyesen: merőleges vetítés), akkor ez az egyenes egy pontnak (gyakorlatilag egyáltalán nem) látszik. Ugyanez a hatás elérhető a NézetBeállítása() paranccsal is.
ikonnal vagy az UtakMetszete(,) paranccsal adható meg.
Másik figyelemre méltó, talán kevésbé ismert (vagy követett) a térbeli alakzatok megjelenítéssel kapcsolatos ikon ez , amelyet aktivizálva, ha egy síkra, (síkidomra), egyenesre kattintunk, akkor az egész rajz nézőpontja (vetítési iránya) erre merőleges lesz. Pl. ha egy egyenesre kattintunk, és a vetítés iránya merőleges a képsíkra (amit a GeoGebra párhuzamos vetítésnek nevez (helyesen: merőleges vetítés), akkor ez az egyenes egy pontnak (gyakorlatilag egyáltalán nem) látszik. Ugyanez a hatás elérhető a NézetBeállítása() paranccsal is.
A sík és térgeometria egyező és eltérő hatású parancsai
Ha sík- vagy térgeometriai szerkesztést végzünk, vagyis, ha a rajzlap, vagy a 3D-s nézet az aktív, az ikonsoron részben egyező, részben különböző ikonok jelennek meg. Az azonosak is olykor más eredményere vezetnek attól függően, hogy hol alkalmazzuk. Ezt célszerű - feladatokon keresztül - kitapasztalnunk.
2. feladat
Adjuk meg az A és B pontokat a síkban, majd a térben. Figyeljük meg az (A,B) egyenes egyenletét.
Egyenes síkban és térben
Rajzlap -3 D-s nézet
- Ha az egyenes két pontját a rajzlapon a ikonnal vagy a parancssorban 2-2 koordinátájával adjuk meg, akkor az egyenes implicit formában felírt egyenletét a·x+b·y=c alakban kapjuk, ahol az (a,b) vektor az egyenes normálvektora: a=-y(B-A) , b=x(B-A), és c =a·x(A)+b·y(A). Ez lényegében egy egyváltozós függvény, a fenti appletben es(p)=(a·p-c)/b vagyis egy szám: az es függvény p helyen vett helyettesítési értéke.
- Ha az egyenes két pontját 3D-s nézetben, így 3-3 koordinátájával adjuk meg, akkor az egyenes egyenletét paraméteres alakban kapjuk meg: et=A+λ(B-A) , akol a λ paraméter írja le az egyenest. Így et(p)=C az a pont az et egyenesen, amelyet a p paraméter jelöl ki.
- A 3D-s nézet xy síkjában megjelennek a rajzlap alakzatai, ugyanígy a rajzlapon a rajztér xy síkjában lévő alakzatok. Ezt az alakzat-tulajdonságok beállításában megváltoztatható.
- A rajzlap alakzatait az egérrel "meg lehet fogni", és önmagával párhuzamosan lehet vonszolni. Ekkor vele együtt mozognak azok pontok, amelyekkel előállítottuk. 3D-ben ez nem megoldható.
- Két egyenes párhuzamosságára vonatkozó PárhuzamosE(,) kérdés csak a rajzlapon lévő, vagyis az xy síkban fekvő egyenesekre vonatkozhat. (Később megmutatjuk, hogy a tér két egyenesére hogyan tehető fel ez a kérdés.)
Merőlegesség síkban és térben
Mint láttuk, a GeoGebra síkgeometriában lényegében normálvektorával, 3D-s nézetben irányvektorával adja meg az egyenes egyenletét. (3D-ben egy egyenesnek nem létezik egyértelműen adott normálvektora.)
Legyen a tér egy pontja A=(ax,ay,az), egy vektora v=(vx,vy,vz) Ekkor az A pontra illeszkedő v irányvektorú egyenes egyenlete e= A+λv alakú, az A-ra illeszkedő v normálvektorú sík egyenlete:
ax(x-vx)+ay(y-vy)+az(z-vz)=0.
Ez azt jelenti, hogy nem csak a GeoGebrában, hanem minden számítőgépes grafikai rendszerben igen kevés számolást igényel egy adott egyenesre merőleges síknak, adott síkra merőleges egyesnek vagy egyenessel párhuzamos egyenesnek , és síkkal párhuzamos síknak a megadása.
Mi lenne, ha ez az eszköztár nem állna a rendelkezésünkre, és (az idősebbeknek újból, a fiataloknak talán életükben először), "valódi" rajzlapon, valódi körzővel, vonalzóval ceruzával kellene nagy pontosságú rajzokat készíteni térgeometriai alakzatokról?
Először is igen alaposan támaszkodni kellene a munkalap elején felsorolt geometriai összefüggésekre. Másodszor jobban szem előtt kellene tartanunk "térben gondolkodunk, síkban rajzolunk" elvet. Jól el kellene sajátítanunk az un. Monge féle két képsíkos ábrázolás módszereit, gyakorlati fogásait. Ezt követően vállalkozhatnánk a szemléletesség elvét jobban követő axonometrikus és perspektív képek készítésére.
A GeoGebra 3D-ben viszont mindezt átugorva egyből a rendelkezésünkre áll a lehetőség, hogy a három dimenziós objektumokat megadjuk és megjelenítsük. Élnünk kell a kapott lehetőségekkel, de ismernünk kell az, algebrai és geometriai korlátait.
3. feladat
Legyen adott a térben az a=(A1,A2) és a b=(B1,B2) kitérő egyenespár. Szerkesszük meg a normáltranszverzálisukat!
Először oldjuk meg a feladatot a
, 
, 
, 
, 
,
ikonokkal hívható parancsok alkalmazásával.
, , , , , ikonokkal hívható parancsok alkalmazásával.Normáltranszverzális - lépésenként
Lényegében ezt az utat kellene követnie annak is, aki mindezt az ábrázoló geometria eszköztárával, papíron szeretné megoldani. A különbség mindössze annyi, hogy ott ezt, vagy ezt 
a lépést további szerkesztési lépésekre kellene bontani.
A kitérő egyenesek a keletkező rajzon olykor "metszik" egymást. A klasszikus ábrázoló geometriában fontos feladatnak számított, hogy ezekben az un. fedőpontokban melyik egyenes van a nézőpontunkhoz közelebb: azaz melyik egyenes van előtte a másiknak. A GeoGebra ezt a kérdést megoldja, bár ahhoz, hogy egy jól látható legyen kellően nagyra kellene beállítanunk a vonalvastagságot. Ehelyett ezt úgy oldottuk meg, hogy az adott ill. kapott egyenesek köré rajzoltunk egy-egy változtatható sugarú hengerpalástot. Ez persze nem része a kitűzött feladatnak.
Ennél lényegesen fontosabb viszont, hogy az a és b egyenes normáltranszverzálisa a t=Merőleges(a,b) paranccsal azonnal megadható, bár egyik ikon sem engedi meg, hogy a parancs bemenő adata két (metsző, vagy kitérő) egyenes legyen.
Ennek a parancsnak az alkalmazásával előállítható egy logikai függvény, amellyel eldönthető, hogy a tér a és b egyenese párhuzamos-e: ¬(DefiniáltE(Merőleges(a,b)))
vagy ezt a lépést további szerkesztési lépésekre kellene bontani.
A kitérő egyenesek a keletkező rajzon olykor "metszik" egymást. A klasszikus ábrázoló geometriában fontos feladatnak számított, hogy ezekben az un. fedőpontokban melyik egyenes van a nézőpontunkhoz közelebb: azaz melyik egyenes van előtte a másiknak. A GeoGebra ezt a kérdést megoldja, bár ahhoz, hogy egy jól látható legyen kellően nagyra kellene beállítanunk a vonalvastagságot. Ehelyett ezt úgy oldottuk meg, hogy az adott ill. kapott egyenesek köré rajzoltunk egy-egy változtatható sugarú hengerpalástot. Ez persze nem része a kitűzött feladatnak.
Ennél lényegesen fontosabb viszont, hogy az a és b egyenes normáltranszverzálisa a t=Merőleges(a,b) paranccsal azonnal megadható, bár egyik ikon sem engedi meg, hogy a parancs bemenő adata két (metsző, vagy kitérő) egyenes legyen.
Ennek a parancsnak az alkalmazásával előállítható egy logikai függvény, amellyel eldönthető, hogy a tér a és b egyenese párhuzamos-e: ¬(DefiniáltE(Merőleges(a,b)))Normáltranszverzális - egy lépésben
Két egyenes kölcsönös helyzete
Közismert, hogy az euklideszi geometriában a sík két egyenese metsző, vagy párhuzamos. A térben lehetnek kitérők is. A dinamikus geometria eszköztárát használva ezek a kapcsolatok változhatnak, az egyenesek megadásától függően. Ezeket a kapcsolatokat vizsgáljuk meg az alábbi egyszerű példán.
Feladat:
Legyen adott az a=(A1A2) és b=(B1B2) egyenes, valamint egy C pont! Legyen M=a∩b ! Szerkesszük meg a c=(C,M) egyenest! Vizsgáljuk meg mi történik, ha a és b nem metszők: párhuzamosak, egybeesnek, vagy kitérők!
Figyeljük meg, hogy ha az a és b egyenesek metszéspontja nem jön létre (vagyis M nem definiált, amit az M=? felírás jelez, attól még az a∥b és az a=b esetben létrejön a c=Egyenes(C,M) paranccsal megadott egyenes, amelynek az iránya az a és b egyenes közös iránya.
Úgy is mondhatjuk, hogy ilyen esetben M az a és b egyenes közös végtelen távoli pontja, amit a párhuzamos, vagy egybeeső egyenesek irányával adunk meg. (Ugyanez síkgeometriában is így működik.)
A GeoGebrának ezzel az igen hasznos tulajdonságával beléphetünk a felsőbb matematikának egy igen szép területére, a projektív geometria világába, amelynek itt csak egy pici szeletét villantjuk fel.